A.2 Le paradigme quantique
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En appliquant les règles de correspondance, l’hamiltonien quantique associé
à ce système est donné par
ˆ
H(t) =
1
2m
(−i¯ h∇ − q A(x, t))
2 + q V(x, t)
et l’équation de Schrödinger s’écrit
i¯ h∂ t ψ = −
¯ h
2
2m
∆ψ + i
¯ hq
2m
(∇(Aψ) + A∇ψ) +
q
2
2m
A
2 + qV
ψ.
A.2.3.2 Théorème d’Ehrenfest
Le théorème d’Ehrenfest exprime l’évolution entre deux mesures de la valeur
moyenne d’une grandeur physique.
On considère une grandeur physique A(t) dépendant a priori du temps décrite
par l’observable ˆ
A(t) et on cherche l’évolution de la valeur moyenne
A(t) = ψ(t)| ˆ
A(t)|ψ(t).
Il vient en utilisant l’équation de Schrödinger (A.10)
dA(t)
dt
=
dψ
dt
(t)| ˆ
A(t)|ψ(t)
+
ψ(t)|
d ˆ
A
dt
(t)|ψ(t)
+
ψ(t)| ˆ
A(t)|
dψ
dt
(t)
=
−
i
¯ h
ˆ
H(t)ψ(t)| ˆ
A(t)|ψ(t)
+
ψ(t)|
d ˆ
A
dt
(t)|ψ(t)
+
ψ(t)| ˆ
A(t)| −
i
¯ h
ˆ
H(t)ψ(t)
=
i
¯ h
ψ(t)| ˆ
H(t) ˆ
A(t)|ψ(t)
+
ψ(t)|
d ˆ
A
dt
(t)|ψ(t)
−
i
¯ h
ψ(t)| ˆ
A(t) ˆ
H(t)|ψ(t)
.
On obtient donc finalement (théorème d’Ehrenfest)
dA(t)
dt
=
dA
dt
(t)
+
i
¯ h
ψ(t)|[ ˆ
H(t), ˆ
A(t)]|ψ(t).
Cette dernière expression a ceci de remarquable qu’elle ne fait pas intervenir
la dérivée du vecteur d’état.
Remarque A.6 Si l’hamiltonien et l’observable ˆ
A ne dépendent pas explicitement du temps, une condition nécessaire et suffisante pour que la grandeur
physique A soit conservée par la dynamique est que le commutateur [ ˆ
H, ˆ
A] soit
nul. En particulier, l’énergie est alors une quantité conservée puisque l’hamiltonien commute avec lui-même.