340
A Introduction à la mécanique quantique
A.2.3 Evolution de l’état entre deux mesures
Si mesurer une grandeur physique est un processus essentiellement probabiliste, l’évolution du système entre deux mesures est en revanche parfaitement
déterministe.
A.2.3.1 Equation de Schrödinger
Nous introduisons maintenant l’équation fondamentale de la mécanique quantique.
Troisième postulat. Entre deux mesures, l’évolution de l’état du système
est régie par l’équation de Schrödinger
i¯ h∂ t ψ = ˆ
H(t) · ψ
(A.10)
ˆ
H(t) désignant l’hamiltonien du système (l’observable associée à l’énergie totale).
Lorsque l’hamiltonien est indépendant du temps, la solution de cette équation
avec donnée initiale ψ 0 existe et est unique en vertu du théorème de Stone.
Elle s’écrit ψ(t) = U (t)ψ 0 , la famille d’opérateurs unitaires U (t) = e
−it ˆ
H/¯ h
désignant le propagateur associé à ˆ
H. Lorsque ˆ
H dépend explicitement du
temps, l’existence d’un propagateur n’est pas garantie a priori, mais se prouve
au cas par cas pour tous les cas physiques dont nous avons connaissance.
Reprenons notre exemple d’une particule de masse m soumise à un champ
de forces extérieur, mais en supposant maintenant qu’il s’agit d’une particule chargée évoluant dans un champ électromagnétique classique décrit par
le potentiel scalaire V(x, t) et le potentiel vecteur A(x, t) ; c’est en fait une
extension du cas étudié jusqu’à présent. L’hamiltonien classique s’écrit alors
H =
1
2m
(p − q A(x, t))
2 + q V(x, t).
Rappelons que le champ électrique E(x, t) et le champ magnétique B(x, t)
s’obtiennent à partir des champs V(x, t) et A(x, t) par les relations
E(x, t) = −∇V(x, t) −
∂A
∂t
(x, t),
B(x, t) = rotA(x, t).
Les équations du mouvement résultent des formules (A.4) de la mécanique
hamiltonienne : on obtient après calcul
m¨ x = q(E(x, t) + ˙
x × B).
Notons qu’on retrouve ainsi l’expression de la force de Lorentz f = q(E(x, t) +
˙
x × B).