A.2 Le paradigme quantique
339
nécessairement une onde plane (−i¯ h∇ψ = p 0 ψ ⇒ ψ ∝ e
ip0·x/¯ h ), qui est
complètement délocalisée dans l’espace des positions : toutes les positions sont
équiprobables (∆x = +∞).
On pourra vérifier à titre d’exercice qu’en dimension 1, l’inégalité d’Heisenberg
est optimale (en ce sens que l’inégalité est en fait une égalité) lorsque ψ est
un paquet d’ondes gaussien de la forme
ψ(x) = A e
−|x−x0|
2 /4σ
2 e
ip0x/¯ h ,
avec x 0 ∈ IR, p 0 ∈ IR et σ > 0 (A désigne une constante de normalisation).
Remarque A.5 Si on raisonne en incertitude sur la vitesse, et non sur l’impulsion, l’inégalité d’Heisenberg s’écrit :
∆x k ∆v k ≥
¯ h
2m
,
m désignant la masse de la particule. Dans l’espace position-vitesse, les électrons, particules légères (m e = 9.11 10
−31 kg), seront donc beaucoup plus
délocalisés que les noyaux atomiques qui sont des particules plus lourdes
(m p = 1.67 10
−27 kg, pour le plus léger d’entre eux, le noyau d’Hydrogène).
A.2.2.4 Mesurer pour préparer
Pour simplifier, on suppose que tous les opérateurs dont il est ici question
ont un spectre purement ponctuel. La troisième assertion du postulat de la
mesure nous dit qu’après la mesure, l’état du système est dans le sous-espace
propre associé à la valeur mesurée.
Si donc on connaît un ensemble fini de n observables ( ˆ
A 1 , ˆ
A 2 , · · · , ˆ
A n ) qui
commutent deux à deux et telles que tout sous-espace propre de H commun
aux n observables, est de dimension 1, alors on peut, en mesurant simultanément les n grandeurs physiques (A 1 , A 2 , · · · , A n ), caractériser complètement
l’état du système
8 (l’état après les mesures, faut-il le préciser). Bien qu’on
soit incapable de forcer un système à adopter un état, on peut en partant
d’un grand nombre de systèmes identiques (par exemple d’un faisceau de particules), s’arranger pour séparer spatialement les systèmes (les particules) qui
sont dans l’état sur lequel on veut expérimenter (cf. l’expérience de Stern
et Gerlach, section A.2.4.2). On peut ainsi réaliser des expériences de mécanique quantique en imposant la condition initiale. Cette opération s’appelle
la préparation du système.
Un ensemble d’observables qui possède la propriété ci-dessus est appelé un
ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC). Nous rencontrerons
un exemple d’ECOC lors de l’étude de l’ion hydrogénoïde, section 6.1.
8 A une phase globale près, qui ne change rien aux résultats des mesures.
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nécessairement une onde plane (−i¯ h∇ψ = p 0 ψ ⇒ ψ ∝ e
ip0·x/¯ h ), qui est
complètement délocalisée dans l’espace des positions : toutes les positions sont
équiprobables (∆x = +∞).
On pourra vérifier à titre d’exercice qu’en dimension 1, l’inégalité d’Heisenberg
est optimale (en ce sens que l’inégalité est en fait une égalité) lorsque ψ est
un paquet d’ondes gaussien de la forme
ψ(x) = A e
−|x−x0|
2 /4σ
2 e
ip0x/¯ h ,
avec x 0 ∈ IR, p 0 ∈ IR et σ > 0 (A désigne une constante de normalisation).
Remarque A.5 Si on raisonne en incertitude sur la vitesse, et non sur l’impulsion, l’inégalité d’Heisenberg s’écrit :
∆x k ∆v k ≥
¯ h
2m
,
m désignant la masse de la particule. Dans l’espace position-vitesse, les électrons, particules légères (m e = 9.11 10
−31 kg), seront donc beaucoup plus
délocalisés que les noyaux atomiques qui sont des particules plus lourdes
(m p = 1.67 10
−27 kg, pour le plus léger d’entre eux, le noyau d’Hydrogène).
A.2.2.4 Mesurer pour préparer
Pour simplifier, on suppose que tous les opérateurs dont il est ici question
ont un spectre purement ponctuel. La troisième assertion du postulat de la
mesure nous dit qu’après la mesure, l’état du système est dans le sous-espace
propre associé à la valeur mesurée.
Si donc on connaît un ensemble fini de n observables ( ˆ
A 1 , ˆ
A 2 , · · · , ˆ
A n ) qui
commutent deux à deux et telles que tout sous-espace propre de H commun
aux n observables, est de dimension 1, alors on peut, en mesurant simultanément les n grandeurs physiques (A 1 , A 2 , · · · , A n ), caractériser complètement
l’état du système
8 (l’état après les mesures, faut-il le préciser). Bien qu’on
soit incapable de forcer un système à adopter un état, on peut en partant
d’un grand nombre de systèmes identiques (par exemple d’un faisceau de particules), s’arranger pour séparer spatialement les systèmes (les particules) qui
sont dans l’état sur lequel on veut expérimenter (cf. l’expérience de Stern
et Gerlach, section A.2.4.2). On peut ainsi réaliser des expériences de mécanique quantique en imposant la condition initiale. Cette opération s’appelle
la préparation du système.
Un ensemble d’observables qui possède la propriété ci-dessus est appelé un
ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC). Nous rencontrerons
un exemple d’ECOC lors de l’étude de l’ion hydrogénoïde, section 6.1.
8 A une phase globale près, qui ne change rien aux résultats des mesures.