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A Introduction à la mécanique quantique
Notons que les fonctions ψ(x, t) et φ(p, t) sont les transformées de Fourier
l’une de l’autre. Plus précisément (exercice),
ψ(x, t) =
1
(2π¯ h) 3/2
I R 3
φ(p, t) e
ip·x/¯ h dp
et
φ(p, t) =
1
(2π¯ h) 3/2
I R 3
ψ(x, t) e
−ip·x/¯ h dx.
A.2.2.3 Mesures incompatibles - Inégalité d’Heisenberg
Revenons au cadre général et considérons deux observables ˆ
A et ˆ
B associées
respectivement aux grandeurs physiques A et B. Soit maintenant un état ψ
fixé pour lequel on note
∆A = ψ, ( ˆ
A − −A)
2 ψ
1/2
et
∆B = ψ, ( ˆ
B − −B)
2 ψ
1/2
l’écart type sur la mesure de A et de B respectivement. Pour tout λ ∈ IR, on
a
(( ˆ
A − −A) + iλ( ˆ
B − −B)) · ψ
2 = λ
2 (∆B)
2 + λ
iψ, [ ˆ
A, ˆ
B] · ψ
+ (∆A)
2 ,
[ ˆ
A, ˆ
B] = ˆ
A ˆ
B − ˆ
B ˆ
A désignant le commutateur des observables ˆ
A et ˆ
B. Le
polynôme en λ figurant dans le membre de droite étant positif pour tout
λ réel, il s’ensuit que son discriminant est négatif. On en déduit l’inégalité
d’Heisenberg
∆A ∆B ≥
1
2
ψ, [ ˆ
A, ˆ
B] · ψ
.
L’exemple le plus classique correspond à la mesure simultanée de la coordonnée sur l’axe Ox k de la position d’une particule ( ˆ
A = ˆ
x k ) et de l’impulsion
selon cette direction ( ˆ
B = ˆ
p k = −i¯ h
∂
∂x k
). On vérifie en effet facilement que
[ˆ x k , ˆ
p k ] = i¯ h.
Il vient donc que pour tout état ψ ∈ H = L
2 (IR
3 , C | ) normalisé,
∆x k ∆p k ≥
¯ h
2
.
Cette relation signifie qu’on ne peut pas trouver d’état ψ pour lequel on puisse
connaître à l’avance le résultat d’une mesure de la position (∆x = 0) et de
l’impulsion (∆p = 0). Si, et c’est un cas limite, on mesure la position d’une
particule avec une précision infinie selon les trois axes (∆x = 0), le paquet
d’ondes réduit est un “Dirac”, c’est-à-dire une constante dans la représentation
impulsion : toutes les impulsions sont équipropables (∆p = +∞). De même,
un paquet d’ondes possédant une impulsion p 0 bien définie (∆p = 0) est