A.2 Le paradigme quantique
337
x −→ ˆ
x = multiplication par x
p−→ ˆ
p = −i¯ h∇.
(A.9)
On obtient ainsi
Grandeur physique
Observable (représentation position)
Position x
ˆ
x : Multiplication par x
Impulsion p
ˆ
p = −i¯ h∇
Vitesse v = p/m
ˆ
v = −i
¯
h
m ∇
Moment cinétique L = x × p
ˆ
L = −i¯ hˆ x × ∇
Energie cinétique E c =
p
2
2m
ˆ
E c = −
¯
h
2
2m ∆
Energie potentielle V
ˆ
V (t) : Multiplication par V (x, t)
Energie totale H(t) =
p
2
2m + V
ˆ
H(t) = −
¯
h
2
2m ∆ + ˆ
V (t)
L’opérateur ˆ
H(t) associé à l’énergie totale (i.e. à l’hamiltonien classique H(t),
cf. section A.1.1) est l’hamiltonien (quantique) du système. Nous verrons que
cette observable joue un rôle central dans la dynamique du système.
Attention toutefois à l’application des règles de correspondance ! La grandeur
physique “moment cinétique” fait intervenir dans sa définition classique, à la
fois la position x et l’impulsion p. Or les opérateurs quantiques correspondants
ˆ
x et ˆ
p = −i¯ h∇ ne commutent pas : [ˆ x k , ˆ
p k ] = i¯ h. Il ne faut donc pas utiliser
sans réfléchir les règles de correspondances (A.9). Ce qui fait que l’expression
donnée dans le tableau ci-dessus est correcte, c’est que le produit vectoriel fait
intervenir des termes croisés : on a ainsi par exemple L 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 . Or il
se trouve que [ˆ x 2 , ˆ
p 3 ] = [ˆ x 3 , ˆ
p 2 ] = 0 (la multiplication par x 2 commute avec la
dérivation par rapport à x 3 et vice versa).
Remarque A.4 Outre la représentation position, on utilise également en
pratique la représentation impulsion dans laquelle on identifie le IR
3 de
L
2 (IR
3 , C | ) à l’espace des impulsions. L’interprétation physique de la fonction
d’onde φ(p, t) (on note φ pour distinguer cette représentation de la représentation position) est que la densité de probabilité à l’instant t d’obtenir la
valeur p lors d’une mesure de l’impulsion est égale à |φ(p, t)|
2 . Dans cette
représentation, les expressions des observables usuelles sont les suivantes :
Grandeur physique
Observable (représentation impulsion)
Position x
ˆ
x = i¯ h∇ p
Impulsion p
ˆ
p : Multiplication par p
Vitesse v = p/m
ˆ
v : Multiplication par p/m
Moment cinétique L = x × p
ˆ
L = ˆ
x × ˆ
p
Energie cinétique E c =
p
2
2m
ˆ
E c : Multiplication par p
2 /2m
Energie potentielle V
ˆ
V (t) : Convolution par
v(p, t) =
I R 3
e
−i p·x/¯ h
(2π¯ h) 3 V (x, t) dx
Energie totale H(t) =
p
2
2m + V
ˆ
H(t) =
ˆ
p
2
2m + ˆ
V (t)
337
x −→ ˆ
x = multiplication par x
p−→ ˆ
p = −i¯ h∇.
(A.9)
On obtient ainsi
Grandeur physique
Observable (représentation position)
Position x
ˆ
x : Multiplication par x
Impulsion p
ˆ
p = −i¯ h∇
Vitesse v = p/m
ˆ
v = −i
¯
h
m ∇
Moment cinétique L = x × p
ˆ
L = −i¯ hˆ x × ∇
Energie cinétique E c =
p
2
2m
ˆ
E c = −
¯
h
2
2m ∆
Energie potentielle V
ˆ
V (t) : Multiplication par V (x, t)
Energie totale H(t) =
p
2
2m + V
ˆ
H(t) = −
¯
h
2
2m ∆ + ˆ
V (t)
L’opérateur ˆ
H(t) associé à l’énergie totale (i.e. à l’hamiltonien classique H(t),
cf. section A.1.1) est l’hamiltonien (quantique) du système. Nous verrons que
cette observable joue un rôle central dans la dynamique du système.
Attention toutefois à l’application des règles de correspondance ! La grandeur
physique “moment cinétique” fait intervenir dans sa définition classique, à la
fois la position x et l’impulsion p. Or les opérateurs quantiques correspondants
ˆ
x et ˆ
p = −i¯ h∇ ne commutent pas : [ˆ x k , ˆ
p k ] = i¯ h. Il ne faut donc pas utiliser
sans réfléchir les règles de correspondances (A.9). Ce qui fait que l’expression
donnée dans le tableau ci-dessus est correcte, c’est que le produit vectoriel fait
intervenir des termes croisés : on a ainsi par exemple L 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 . Or il
se trouve que [ˆ x 2 , ˆ
p 3 ] = [ˆ x 3 , ˆ
p 2 ] = 0 (la multiplication par x 2 commute avec la
dérivation par rapport à x 3 et vice versa).
Remarque A.4 Outre la représentation position, on utilise également en
pratique la représentation impulsion dans laquelle on identifie le IR
3 de
L
2 (IR
3 , C | ) à l’espace des impulsions. L’interprétation physique de la fonction
d’onde φ(p, t) (on note φ pour distinguer cette représentation de la représentation position) est que la densité de probabilité à l’instant t d’obtenir la
valeur p lors d’une mesure de l’impulsion est égale à |φ(p, t)|
2 . Dans cette
représentation, les expressions des observables usuelles sont les suivantes :
Grandeur physique
Observable (représentation impulsion)
Position x
ˆ
x = i¯ h∇ p
Impulsion p
ˆ
p : Multiplication par p
Vitesse v = p/m
ˆ
v : Multiplication par p/m
Moment cinétique L = x × p
ˆ
L = ˆ
x × ˆ
p
Energie cinétique E c =
p
2
2m
ˆ
E c : Multiplication par p
2 /2m
Energie potentielle V
ˆ
V (t) : Convolution par
v(p, t) =
I R 3
e
−i p·x/¯ h
(2π¯ h) 3 V (x, t) dx
Energie totale H(t) =
p
2
2m + V
ˆ
H(t) =
ˆ
p
2
2m + ˆ
V (t)