336
A Introduction à la mécanique quantique
Dans cette représentation, la grandeur physique “naturelle” est la position
7 et
l’observable (vectorielle) associée, notée ˆ
x est la multiplication par x : si on
répète un grand nombre de fois l’expérience, la particule sera donc mesurée
en moyenne au point
x(t) = ψ(t)|ˆ x|ψ(t) =
I R 3
x |ψ(x, t)|
2 dx
avec un écart quadratique moyen
∆x(t) =
I R 3
x
2
|ψ(x, t)|
2 dx −
I R 3
x |ψ(x, t)|
2 dx
2
1/2
.
Comme le spectre des observables scalaires ˆ
x k (multiplication par x k ) associées
à chaque coordonnée x k est IR tout entier (le vérifier à titre d’exercice), la
particule peut être mesurée en tout point de l’espace en lequel ψ(x, t) n’est
pas nul : la position n’est pas une grandeur physique quantifiée. Enfin si la
particule est dans l’état ψ(t 0 − 0) avant la mesure et qu’on l’observe (par
une mesure de la position) dans une sphère de rayon > 0 centrée en x 0 , la
fonction d’onde de la particule après la mesure sera donnée par
ψ(x, t 0 + 0) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ψ 0 (x, t 0 − 0)
|y−x0|<<
|ψ(y, t 0 − 0)| 2 dy
1/2
si |x − x 0 | < <,
0
sinon .
En utilisant l’analogue quantique du théorème de Noether (cf. [180]), on peut
montrer que l’observable ˆ
p associée à l’impulsion est nécessairement proportionnelle à l’opérateur −i∇ qui est le générateur du groupe des translations
d’espace dans la représentation position. La constante de proportionalité, notée ¯ h, est appelée constante de Planck réduite. Elle a la dimension d’une
action (une énergie multipliée par un temps) et vaut ¯ h = 1.0546 10
−34 J.s
(Joule seconde) dans les unités du système international. On a donc
ˆ
p = −i¯ h∇.
Les autres grandeurs physiques habituellement associées à une particule sans
spin sont sa vitesse, son moment cinétique, son énergie cinétique, son énergie
potentielle et son énergie totale. Ce sont toutes des fonctions des grandeurs
physiques position et impulsion et on peut donc déduire les observables associées à ces grandeurs physiques par le calcul fonctionnel via les régles de
correspondance
7 Nous n’avons défini ci-dessus que les observables correspondant à des grandeurs
physiques scalaires. A une grandeur physique vectorielle, on associera tout simplement une observable scalaire par coordonnée.
A Introduction à la mécanique quantique
Dans cette représentation, la grandeur physique “naturelle” est la position
7 et
l’observable (vectorielle) associée, notée ˆ
x est la multiplication par x : si on
répète un grand nombre de fois l’expérience, la particule sera donc mesurée
en moyenne au point
x(t) = ψ(t)|ˆ x|ψ(t) =
I R 3
x |ψ(x, t)|
2 dx
avec un écart quadratique moyen
∆x(t) =
I R 3
x
2
|ψ(x, t)|
2 dx −
I R 3
x |ψ(x, t)|
2 dx
2
1/2
.
Comme le spectre des observables scalaires ˆ
x k (multiplication par x k ) associées
à chaque coordonnée x k est IR tout entier (le vérifier à titre d’exercice), la
particule peut être mesurée en tout point de l’espace en lequel ψ(x, t) n’est
pas nul : la position n’est pas une grandeur physique quantifiée. Enfin si la
particule est dans l’état ψ(t 0 − 0) avant la mesure et qu’on l’observe (par
une mesure de la position) dans une sphère de rayon > 0 centrée en x 0 , la
fonction d’onde de la particule après la mesure sera donnée par
ψ(x, t 0 + 0) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ψ 0 (x, t 0 − 0)
|y−x0|<<
|ψ(y, t 0 − 0)| 2 dy
1/2
si |x − x 0 | < <,
0
sinon .
En utilisant l’analogue quantique du théorème de Noether (cf. [180]), on peut
montrer que l’observable ˆ
p associée à l’impulsion est nécessairement proportionnelle à l’opérateur −i∇ qui est le générateur du groupe des translations
d’espace dans la représentation position. La constante de proportionalité, notée ¯ h, est appelée constante de Planck réduite. Elle a la dimension d’une
action (une énergie multipliée par un temps) et vaut ¯ h = 1.0546 10
−34 J.s
(Joule seconde) dans les unités du système international. On a donc
ˆ
p = −i¯ h∇.
Les autres grandeurs physiques habituellement associées à une particule sans
spin sont sa vitesse, son moment cinétique, son énergie cinétique, son énergie
potentielle et son énergie totale. Ce sont toutes des fonctions des grandeurs
physiques position et impulsion et on peut donc déduire les observables associées à ces grandeurs physiques par le calcul fonctionnel via les régles de
correspondance
7 Nous n’avons défini ci-dessus que les observables correspondant à des grandeurs
physiques scalaires. A une grandeur physique vectorielle, on associera tout simplement une observable scalaire par coordonnée.