A.2 Le paradigme quantique
335
avec un écart quadratique moyen
∆A =
A
2
− −A
2
1/2 =
ψ 0 | ˆ
A
2
|ψ 0 − −ψ 0 | ˆ
A|ψ 0
2
1/2
.
3. On nomme généralement réduction du paquet d’onde le fait de projeter le
vecteur d’état sur le sous-espace propre correspondant à la valeur mesurée.
Cette troisième assertion a quelque chose de rassurant : si on répète immédiatement après une mesure de A, une nouvelle mesure de cette même
grandeur physique, on trouvera à coup sûr deux fois le même résultat à
la précision de l’appareil de mesure près (on effectue la deuxième mesure
sur le paquet d’ondes réduit). Mais la réduction du paquet d’onde signifie aussi que le fait de mesurer la grandeur physique A a complètement
modifié l’état du système. La mesure n’est donc plus comme en mécanique classique une opération extérieure au système, qu’on peut effectuer
en principe sans perturber ce dernier. Mesurer une grandeur physique,
c’est en mécanique quantique bouleverser complètement l’état du système. Autre conséquence du postulat de la mesure, si on mesure d’abord
A puis imméditement après B puis immédiatement après de nouveau A,
on n’obtiendra pas en général deux fois la même valeur de A, sauf si les
observables ˆ
A et ˆ
B commutent (le vérifier en exercice). Cette troisième
assertion contient donc implicitement le concept de mesures incompatibles : si ˆ
A et ˆ
B ne commutent pas, et si on mesure B juste après avoir
mesuré A, on pert l’information sur la grandeur physique A. Cela se
produit notamment pour les grandeurs physiques position et vitesse (ou
position et impulsion) relatives à une particule (cf. section A.2.2.3).
La validité du postulat de la mesure n’a jamais été mise en défaut par l’expérience. Il n’en reste pas moins que son interprétation est délicate et peut
donner lieu à un certain nombre de “paradoxes” dont celui, célèbre, du chat
de Schrödinger [15].
A.2.2.2 Observables associées à une particule (sans spin) - Règles
de correspondance
Nous avons dit plus haut que l’espace de Hilbert associé à une particule sans
spin est isomorphe à L
2 (IR
3 , C | ) et nous avons implicitement évoqué à cette
occasion la représentation position ; dans cette représentation, IR
3 est identifié
à l’espace usuel muni d’un repère galiléen et |ψ(x, t)|
2 désigne la densité de
probabilité à l’instant t de mesurer la particule au point x : cela signifie que
la probabilité à l’instant t de mesurer la particule dans l’ouvert Ω est
Ω
|ψ(x, t)|
2 dx.
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avec un écart quadratique moyen
∆A =
A
2
− −A
2
1/2 =
ψ 0 | ˆ
A
2
|ψ 0 − −ψ 0 | ˆ
A|ψ 0
2
1/2
.
3. On nomme généralement réduction du paquet d’onde le fait de projeter le
vecteur d’état sur le sous-espace propre correspondant à la valeur mesurée.
Cette troisième assertion a quelque chose de rassurant : si on répète immédiatement après une mesure de A, une nouvelle mesure de cette même
grandeur physique, on trouvera à coup sûr deux fois le même résultat à
la précision de l’appareil de mesure près (on effectue la deuxième mesure
sur le paquet d’ondes réduit). Mais la réduction du paquet d’onde signifie aussi que le fait de mesurer la grandeur physique A a complètement
modifié l’état du système. La mesure n’est donc plus comme en mécanique classique une opération extérieure au système, qu’on peut effectuer
en principe sans perturber ce dernier. Mesurer une grandeur physique,
c’est en mécanique quantique bouleverser complètement l’état du système. Autre conséquence du postulat de la mesure, si on mesure d’abord
A puis imméditement après B puis immédiatement après de nouveau A,
on n’obtiendra pas en général deux fois la même valeur de A, sauf si les
observables ˆ
A et ˆ
B commutent (le vérifier en exercice). Cette troisième
assertion contient donc implicitement le concept de mesures incompatibles : si ˆ
A et ˆ
B ne commutent pas, et si on mesure B juste après avoir
mesuré A, on pert l’information sur la grandeur physique A. Cela se
produit notamment pour les grandeurs physiques position et vitesse (ou
position et impulsion) relatives à une particule (cf. section A.2.2.3).
La validité du postulat de la mesure n’a jamais été mise en défaut par l’expérience. Il n’en reste pas moins que son interprétation est délicate et peut
donner lieu à un certain nombre de “paradoxes” dont celui, célèbre, du chat
de Schrödinger [15].
A.2.2.2 Observables associées à une particule (sans spin) - Règles
de correspondance
Nous avons dit plus haut que l’espace de Hilbert associé à une particule sans
spin est isomorphe à L
2 (IR
3 , C | ) et nous avons implicitement évoqué à cette
occasion la représentation position ; dans cette représentation, IR
3 est identifié
à l’espace usuel muni d’un repère galiléen et |ψ(x, t)|
2 désigne la densité de
probabilité à l’instant t de mesurer la particule au point x : cela signifie que
la probabilité à l’instant t de mesurer la particule dans l’ouvert Ω est
Ω
|ψ(x, t)|
2 dx.