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A Introduction à la mécanique quantique
2. si le système se trouve à l’instant t précédent la mesure dans l’état ψ 0 , le
résultat de la mesure se trouvera dans l’intervale ]a, b] avec une probabilité
égale à
µ
A (]a, b]) =
P
A
b − P
A
a
· ψ 0
2 ,
(P
A
λ ) λ∈I R désignant la famille spectrale associée à l’opérateur auto-adjoint
ˆ
A ;
3. si ψ 0 désigne l’état du système avant la mesure, et que le résultat de la
mesure donne le réel a à ∆a près
5 , alors l’état du système après la mesure
est
P
A
a+∆a − P
A
a−∆a
· ψ 0
P A
a+∆a − P A
a−∆a
· ψ 0
.
(A.8)
Réciproquement, on peut associer à tout opérateur auto-adjoint une grandeur
physique
6 .
Cet énoncé appelle quelques commentaires :
1. La première assertion nous enseigne qu’une grandeur physique ne peut pas
prendre n’importe quelle valeur réelle, comme c’est généralement le cas
en mécanique classique. En effet, le résultat d’une mesure de la grandeur
physique A est nécessairement un point du spectre de ˆ
A. Si donc ˆ
A possède
un spectre discret non vide, on observera une quantification des valeurs de
la grandeur physique A. Ce phénomène arrive fréquemment en pratique,
comme nous le verrons par la suite.
2. Le premier postulat nous dit qu’un système est complètement caractérisé
à l’instant t par le vecteur d’état ψ(t). La deuxième assertion du postulat
de la mesure nous dit de son côté que pour un vecteur d’état ψ(t) donné,
la mesure de la grandeur physique A ne conduit pas à un résultat certain
(sauf dans le cas très particulier où ψ(t) est un vecteur propre de ˆ
A). Il
faut se résoudre à admettre qu’en mécanique quantique, deux expériences
effectuées exactement dans les mêmes conditions peuvent ne pas donner
le même résultat. Il subsiste une incertitude essentielle (cf. sur ce point la
remarque A.3). Si on répète un grand nombre de fois la même expérience
(mesure de la même grandeur physique sur le même système décrit à
l’instant de la mesure par le même vecteur d’état ψ 0 ), on obtiendra par
la loi des grands nombres la valeur moyenne
A =
I R
λ dµ
A (λ) =
I R
λ d
P
A
λ ψ 0 , P
A
λ ψ 0
=
I R
λ d(ψ 0 , P
A
λ ψ 0 )
= ψ 0 ,
I R 3
λ dP
A
λ
· ψ 0 = ψ 0 | ˆ
A|ψ 0
5 L’incertitude ∆a est ici liée au fait que tout appareil de mesure (même en physique
classique) possède une résolution finie.
6 Cette grandeur physique peut n’avoir aucun intérêt particulier : ce peut être par
exemple l’énergie potentielle à la puissance 12.
A Introduction à la mécanique quantique
2. si le système se trouve à l’instant t précédent la mesure dans l’état ψ 0 , le
résultat de la mesure se trouvera dans l’intervale ]a, b] avec une probabilité
égale à
µ
A (]a, b]) =
P
A
b − P
A
a
· ψ 0
2 ,
(P
A
λ ) λ∈I R désignant la famille spectrale associée à l’opérateur auto-adjoint
ˆ
A ;
3. si ψ 0 désigne l’état du système avant la mesure, et que le résultat de la
mesure donne le réel a à ∆a près
5 , alors l’état du système après la mesure
est
P
A
a+∆a − P
A
a−∆a
· ψ 0
P A
a+∆a − P A
a−∆a
· ψ 0
.
(A.8)
Réciproquement, on peut associer à tout opérateur auto-adjoint une grandeur
physique
6 .
Cet énoncé appelle quelques commentaires :
1. La première assertion nous enseigne qu’une grandeur physique ne peut pas
prendre n’importe quelle valeur réelle, comme c’est généralement le cas
en mécanique classique. En effet, le résultat d’une mesure de la grandeur
physique A est nécessairement un point du spectre de ˆ
A. Si donc ˆ
A possède
un spectre discret non vide, on observera une quantification des valeurs de
la grandeur physique A. Ce phénomène arrive fréquemment en pratique,
comme nous le verrons par la suite.
2. Le premier postulat nous dit qu’un système est complètement caractérisé
à l’instant t par le vecteur d’état ψ(t). La deuxième assertion du postulat
de la mesure nous dit de son côté que pour un vecteur d’état ψ(t) donné,
la mesure de la grandeur physique A ne conduit pas à un résultat certain
(sauf dans le cas très particulier où ψ(t) est un vecteur propre de ˆ
A). Il
faut se résoudre à admettre qu’en mécanique quantique, deux expériences
effectuées exactement dans les mêmes conditions peuvent ne pas donner
le même résultat. Il subsiste une incertitude essentielle (cf. sur ce point la
remarque A.3). Si on répète un grand nombre de fois la même expérience
(mesure de la même grandeur physique sur le même système décrit à
l’instant de la mesure par le même vecteur d’état ψ 0 ), on obtiendra par
la loi des grands nombres la valeur moyenne
A =
I R
λ dµ
A (λ) =
I R
λ d
P
A
λ ψ 0 , P
A
λ ψ 0
=
I R
λ d(ψ 0 , P
A
λ ψ 0 )
= ψ 0 ,
I R 3
λ dP
A
λ
· ψ 0 = ψ 0 | ˆ
A|ψ 0
5 L’incertitude ∆a est ici liée au fait que tout appareil de mesure (même en physique
classique) possède une résolution finie.
6 Cette grandeur physique peut n’avoir aucun intérêt particulier : ce peut être par
exemple l’énergie potentielle à la puissance 12.