A.2 Le paradigme quantique
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toute l’information sur l’état du système qu’on ne sait pas prédire le résultat
d’une mesure. Ce n’est pas le cas en mécanique quantique : l’état du système
est complètement décrit par le vecteur d’état (il ne manque aucune information) et pourtant on ne peut pas prédire à coup sûr le résultat d’une mesure
(sauf cas particulier, cf. section suivante). La mécanique quantique a donc un
caractère intrinsèquement probabiliste.
Remarque A.3 Plusieurs physiciens éminents n’ont jamais pu se résoudre
à accepter ce caractère aléatoire (“Dieu ne joue pas aux dés”, disait Einstein)
et ont essayé de construire une théorie déterministe compatible avec la mécanique quantique, en introduisant des variables cachées (de façon à rendre le
résultat d’une mesure prédictible à celui qui aurait connaissance de la valeur
des variables cachées). En 1965, Bell a montré que cette tentative était (quasiment) vouée à l’échec : en calculant des corrélations entre mesures sur des
particules “jumelles”, il a en effet montré que les prédictions de la mécanique
quantique ne pouvaient pas s’accorder avec une (très large classe de) théorie(s)
à variables cachées. Le verdict expérimental est tombé en 1982, du moins pour
les photons [4] : c’est la description quantique, intrinsèquement probabiliste,
qui décrit correctement la réalité.
A.2.2 Observables et mesures
En mécanique classique, une particule possède à tout instant t des caractéristiques bien définies (une position, une impulsion, une énergie, ...). Par
ailleurs, on peut en principe mesurer l’une de ces grandeurs physiques sans
modifier l’état du système : dans le cadre classique, la vitesse à laquelle la
pomme tombe de l’arbre est définie indépendamment du fait qu’il y ait ou
non un physicien pour la mesurer et celui-ci peut s’arranger pour effectuer
la mesure sans modifier la vitesse de la pomme. La situation est radicalement différente en mécanique quantique : une grandeur physique ne prend une
valeur déterminée que lorsqu’on la mesure, et mesurer une grandeur physique,
c’est nécessairement modifier en profondeur l’état du système. Il faut se tourner vers la théorie spectrale pour formaliser ces assertions contre-intuitives de
façon à les rendre opératoires.
A.2.2.1 Le postulat de la mesure
Enonçons sans plus attendre ce fameux postulat ; nous le discuterons par la
suite.
Deuxième postulat. A toute grandeur physique (scalaire) A on peut faire
correspondre un opérateur auto-adjoint sur H, noté ˆ
A et appelé l’observable
associée à A, qui vérifie les trois propriétés suivantes :
1. lorsqu’on mesure la grandeur physique A, le résultat obtenu ne peut être
qu’un point du spectre de ˆ
A (aux erreurs de mesure près) ;
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toute l’information sur l’état du système qu’on ne sait pas prédire le résultat
d’une mesure. Ce n’est pas le cas en mécanique quantique : l’état du système
est complètement décrit par le vecteur d’état (il ne manque aucune information) et pourtant on ne peut pas prédire à coup sûr le résultat d’une mesure
(sauf cas particulier, cf. section suivante). La mécanique quantique a donc un
caractère intrinsèquement probabiliste.
Remarque A.3 Plusieurs physiciens éminents n’ont jamais pu se résoudre
à accepter ce caractère aléatoire (“Dieu ne joue pas aux dés”, disait Einstein)
et ont essayé de construire une théorie déterministe compatible avec la mécanique quantique, en introduisant des variables cachées (de façon à rendre le
résultat d’une mesure prédictible à celui qui aurait connaissance de la valeur
des variables cachées). En 1965, Bell a montré que cette tentative était (quasiment) vouée à l’échec : en calculant des corrélations entre mesures sur des
particules “jumelles”, il a en effet montré que les prédictions de la mécanique
quantique ne pouvaient pas s’accorder avec une (très large classe de) théorie(s)
à variables cachées. Le verdict expérimental est tombé en 1982, du moins pour
les photons [4] : c’est la description quantique, intrinsèquement probabiliste,
qui décrit correctement la réalité.
A.2.2 Observables et mesures
En mécanique classique, une particule possède à tout instant t des caractéristiques bien définies (une position, une impulsion, une énergie, ...). Par
ailleurs, on peut en principe mesurer l’une de ces grandeurs physiques sans
modifier l’état du système : dans le cadre classique, la vitesse à laquelle la
pomme tombe de l’arbre est définie indépendamment du fait qu’il y ait ou
non un physicien pour la mesurer et celui-ci peut s’arranger pour effectuer
la mesure sans modifier la vitesse de la pomme. La situation est radicalement différente en mécanique quantique : une grandeur physique ne prend une
valeur déterminée que lorsqu’on la mesure, et mesurer une grandeur physique,
c’est nécessairement modifier en profondeur l’état du système. Il faut se tourner vers la théorie spectrale pour formaliser ces assertions contre-intuitives de
façon à les rendre opératoires.
A.2.2.1 Le postulat de la mesure
Enonçons sans plus attendre ce fameux postulat ; nous le discuterons par la
suite.
Deuxième postulat. A toute grandeur physique (scalaire) A on peut faire
correspondre un opérateur auto-adjoint sur H, noté ˆ
A et appelé l’observable
associée à A, qui vérifie les trois propriétés suivantes :
1. lorsqu’on mesure la grandeur physique A, le résultat obtenu ne peut être
qu’un point du spectre de ˆ
A (aux erreurs de mesure près) ;