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A Introduction à la mécanique quantique
maintenant ne tiennent la route lorsque les vitesses des objets considérés s’approchent de la célérité de la lumière, c’est-à-dire lorsque l’énergie cinétique
classique E c =
1
2 mv
2 n’est plus négligeable devant l’énergie au repos E = mc
2 .
Il faut alors travailler dans un cadre relativiste, mais cela est hors de notre
propos (voir cependant la section A.3.1.4).
A.2.1 Notion d’état
Nous avons vu précédemment qu’en mécanique classique, une particule est
complètement décrite à un instant t par un vecteur de IR
3
× IR
3 (le couple
position-vitesse en formulation newtonienne ou lagrangienne, le couple position-impulsion en formulation hamiltonienne). La situation est plus complexe
en mécanique quantique.
Premier postulat. A un système quantique donné, on peut associer un
espace de Hilbert noté H tel que l’ensemble des états accessibles au système
soit en bijection avec la sphère unité de H. A tout instant t, le système est
donc complètement décrit par un élément normalisé de H noté ψ(t) et appelé
vecteur d’état.
Pour le cas d’une particule sans spin, l’espace H est isomorphe à L
2 (IR
3 , C | ) et
il est possible d’identifier l’espace IR
3 avec l’espace physique muni d’un repère
galiléen. Le vecteur d’état ψ(x, t) est alors une fonction de IR
3
× IR dans C | ,
qu’on appelle usuellement fonction d’onde. A t fixé, la fonction positive
x → |ψ(x, t)|
2
a une interprétation physique simple : elle représente la densité de probabilité
à l’instant t d’observer la particule au point x. On comprend sur cet exemple
qu’il est nécessaire que le vecteur d’état ψ(t) soit normé : cette condition, qui
s’écrit dans ce cadre
I R 3
|ψ(x, t)|
2 dx = 1,
indique simplement que la particule est effectivement à l’instant t quelque
part dans l’espace.
Cet exemple suggère implicitement que la connaissance du vecteur d’état ψ
ne permet pas de prédire à coup sûr le résultat d’une mesure (en l’occurence
la position de la particule). On ne peut déduire de ψ qu’une loi de probabilité. Lorsque pareille situation se rencontre en mécanique classique, c’est que
l’état du système n’est pas complètement connu : si on connaît uniquement la
position x(t) de la particule (ou uniquement sa vitesse v(t)), on ne pourra pas
prédire le résultat de la mesure de l’énergie ; si en revanche l’état du système
est complètement connu (si par exemple on dispose du couple position-vitesse)
on pourra prédire le résultat de la mesure de n’importe quelle quantité (l’énergie, le moment cinétique, ...). Derrière la conception classique de l’aléatoire,
il y a donc une notion de variable cachée : c’est parce qu’on ne dispose pas de
A Introduction à la mécanique quantique
maintenant ne tiennent la route lorsque les vitesses des objets considérés s’approchent de la célérité de la lumière, c’est-à-dire lorsque l’énergie cinétique
classique E c =
1
2 mv
2 n’est plus négligeable devant l’énergie au repos E = mc
2 .
Il faut alors travailler dans un cadre relativiste, mais cela est hors de notre
propos (voir cependant la section A.3.1.4).
A.2.1 Notion d’état
Nous avons vu précédemment qu’en mécanique classique, une particule est
complètement décrite à un instant t par un vecteur de IR
3
× IR
3 (le couple
position-vitesse en formulation newtonienne ou lagrangienne, le couple position-impulsion en formulation hamiltonienne). La situation est plus complexe
en mécanique quantique.
Premier postulat. A un système quantique donné, on peut associer un
espace de Hilbert noté H tel que l’ensemble des états accessibles au système
soit en bijection avec la sphère unité de H. A tout instant t, le système est
donc complètement décrit par un élément normalisé de H noté ψ(t) et appelé
vecteur d’état.
Pour le cas d’une particule sans spin, l’espace H est isomorphe à L
2 (IR
3 , C | ) et
il est possible d’identifier l’espace IR
3 avec l’espace physique muni d’un repère
galiléen. Le vecteur d’état ψ(x, t) est alors une fonction de IR
3
× IR dans C | ,
qu’on appelle usuellement fonction d’onde. A t fixé, la fonction positive
x → |ψ(x, t)|
2
a une interprétation physique simple : elle représente la densité de probabilité
à l’instant t d’observer la particule au point x. On comprend sur cet exemple
qu’il est nécessaire que le vecteur d’état ψ(t) soit normé : cette condition, qui
s’écrit dans ce cadre
I R 3
|ψ(x, t)|
2 dx = 1,
indique simplement que la particule est effectivement à l’instant t quelque
part dans l’espace.
Cet exemple suggère implicitement que la connaissance du vecteur d’état ψ
ne permet pas de prédire à coup sûr le résultat d’une mesure (en l’occurence
la position de la particule). On ne peut déduire de ψ qu’une loi de probabilité. Lorsque pareille situation se rencontre en mécanique classique, c’est que
l’état du système n’est pas complètement connu : si on connaît uniquement la
position x(t) de la particule (ou uniquement sa vitesse v(t)), on ne pourra pas
prédire le résultat de la mesure de l’énergie ; si en revanche l’état du système
est complètement connu (si par exemple on dispose du couple position-vitesse)
on pourra prédire le résultat de la mesure de n’importe quelle quantité (l’énergie, le moment cinétique, ...). Derrière la conception classique de l’aléatoire,
il y a donc une notion de variable cachée : c’est parce qu’on ne dispose pas de