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A Introduction à la mécanique quantique
p = m ˙
x
(A.5)
et
H(x, p, t) =
p
2
2m
+ V (x, t).
(A.6)
Les équations du mouvement (A.4) s’écrivent alors
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x =
p
m
˙
p = −
∂V
∂x
.
(A.7)
En éliminant la variable p, on retrouve bien l’équation de Newton (A.1).
On voit, en combinant (A.5) et (A.6), que l’hamiltonien correspond à l’énergie
totale du système :
H(x, p, t) =
p
2
2m
+ V (x, t) =
1
2
m ˙
x
2 + V (x, t) = E(t).
Ceci est une règle générale. En revanche, la relation de proportionalité entre
la vitesse et l’impulsion est une spécificité du système considéré.
Pour un système isolé composé de N particules ponctuelles de masses m 1 ,
m 2 , ... , m N , en interaction via le potentiel V (x 1 , · · · , x N ), l’état du système
à l’instant t est décrit par un point ({x i (t)} 1≤i≤n , {p i (t)} 1≤i≤n ) de l’espace
des phases IR
3N
× IR
3N . L’hamiltonien est autonome (il ne dépend pas explicitement du temps) et s’écrit
H({x i } , {p i }) =
N
i=1
p
2
i
2 m i
+ V (x 1 , · · · , x N ) ;
les équations du mouvement sont données par
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x i =
∂H
∂p i
˙
p i = −
∂H
∂x i
.
On pourra à titre d’exercice :
1. exprimer les équations de Newton relatives à ce système ;
2. reformuler la dynamique sous la forme lagrangienne d’un principe de
moindre action ;
3. vérifier qu’on passe de la formulation lagrangienne à la formulation hamiltonienne en posant p i = ∂L/∂ ˙
x i .