A.1 Limites de l’approche classique
327
Un calcul simple (une intégration par partie) montre que cette relation s’écrit
aussi
∀h ∈ H
1
0 ([t 0 , t 1 ], IR
n ),
n
i=1
t1
t0
∂L
∂x i
−
d
dt
∂L
∂ ˙
x i
h i = 0.
On a donc finalement le long d’une trajectoire classique
∀1 ≤ i ≤ n,
d
dt
∂L
∂ ˙
x i
−
∂L
∂x i
= 0.
(A.3)
Les équations (A.3) ne sont autres que les équations d’Euler-Lagrange qui
découlent du principe de moindre action ; en utilisant la définition (A.2) du
lagrangien, on obtient
d
dt
(m ˙
x) + ∇V = 0.
On retrouve ainsi la loi de Newton (A.1).
Comme nous l’entreverrons section A.2.3.5, la formulation lagrangienne permet de quantifier le système d’une manière très élégante par la méthode des
intégrales de chemins. Dans les cas qui nous intéressent (une particule, puis
n particules en interaction), il est cependant plus efficace d’un point de vue
pragmatique de quantifier le système à partir du formalisme hamiltonien, que
nous décrivons ci-dessous en quelques mots.
Au lieu de travailler dans l’espace position-vitesse (x, ˙
x) ∈ IR
n
× IR
n , on va
maintenant travailler dans l’espace position-impulsion (x, p) ∈ IR
n
× IR
n , où
l’impulsion (ou moment) est la variable définie par
p =
∂L
∂ ˙
x
.
On introduit ensuite l’hamiltonien du système
H = p · ˙
x − L(x, ˙
x, t).
La fonction H qui dépend a priori de x, ˙
x, p et t, ne dépend en fait que de x,
p et t :
dH = ˙
x dp + p d ˙
x −
∂L
∂x
dx −
∂L
∂ ˙
x
d ˙
x −
∂L
∂ ˙
x
dt = ˙
x dp −
∂L
∂x
dx −
∂L
∂ ˙
x
dt.
On en déduit les relations
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x =
∂H
∂p
˙
p = −
∂H
∂x
,
(A.4)
qui fournissent une dynamique. Pour la particule décrite par le lagrangien (A.2),
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Un calcul simple (une intégration par partie) montre que cette relation s’écrit
aussi
∀h ∈ H
1
0 ([t 0 , t 1 ], IR
n ),
n
i=1
t1
t0
∂L
∂x i
−
d
dt
∂L
∂ ˙
x i
h i = 0.
On a donc finalement le long d’une trajectoire classique
∀1 ≤ i ≤ n,
d
dt
∂L
∂ ˙
x i
−
∂L
∂x i
= 0.
(A.3)
Les équations (A.3) ne sont autres que les équations d’Euler-Lagrange qui
découlent du principe de moindre action ; en utilisant la définition (A.2) du
lagrangien, on obtient
d
dt
(m ˙
x) + ∇V = 0.
On retrouve ainsi la loi de Newton (A.1).
Comme nous l’entreverrons section A.2.3.5, la formulation lagrangienne permet de quantifier le système d’une manière très élégante par la méthode des
intégrales de chemins. Dans les cas qui nous intéressent (une particule, puis
n particules en interaction), il est cependant plus efficace d’un point de vue
pragmatique de quantifier le système à partir du formalisme hamiltonien, que
nous décrivons ci-dessous en quelques mots.
Au lieu de travailler dans l’espace position-vitesse (x, ˙
x) ∈ IR
n
× IR
n , on va
maintenant travailler dans l’espace position-impulsion (x, p) ∈ IR
n
× IR
n , où
l’impulsion (ou moment) est la variable définie par
p =
∂L
∂ ˙
x
.
On introduit ensuite l’hamiltonien du système
H = p · ˙
x − L(x, ˙
x, t).
La fonction H qui dépend a priori de x, ˙
x, p et t, ne dépend en fait que de x,
p et t :
dH = ˙
x dp + p d ˙
x −
∂L
∂x
dx −
∂L
∂ ˙
x
d ˙
x −
∂L
∂ ˙
x
dt = ˙
x dp −
∂L
∂x
dx −
∂L
∂ ˙
x
dt.
On en déduit les relations
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x =
∂H
∂p
˙
p = −
∂H
∂x
,
(A.4)
qui fournissent une dynamique. Pour la particule décrite par le lagrangien (A.2),