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A Introduction à la mécanique quantique
A tout instant t, la particule occupe une position x(t) dans l’espace physique
identifié à IR
3 par choix d’un repère galiléen. La loi d’évolution de x(t) est
donnée par l’équation de Newton
m¨ x(t) = −∇V (x(t), t).
(A.1)
A tout instant t, l’état de la particule est complètement décrit par le couple
position-vitesse (x(t), ˙
x(t)) : si on connaît ces deux grandeurs physiques, on
peut prévoir le résultat de la mesure de n’importe quelle autre grandeur physique (impulsion, moment cinétique, énergie potentielle, énergie cinétique,
énergie totale) associée à la dynamique de la particule. On peut en outre
(en théorie) décrire la passé et le futur de la particule en intégrant l’équation
de Newton.
Les lois de la mécanique classique peuvent être reformulées, comme d’ailleurs
toute la physique classique, en un principe de moindre action. Rappelons de
quoi il s’agit.
Pour un système décrit à l’instant t dans l’espace position-vitesse par le couple
(x(t), ˙
x(t)) ∈ IR
n
× IR
n , on définit l’action associée à un chemin
q : [t 0 , t 1 ] −→ IR
n
t
→ x(t)
(qui peut être ou non une trajectoire physiquement admissible) par
S(q) =
t1
t0
L (t, x(t), ˙
x(t)) dt,
où L désigne le lagrangien du système. Dans le cas que nous examinons (un
point matériel de IR
3 de masse m soumis à un potentiel extérieur V ), le
lagrangien est défini comme l’application
L : IR × IR
3
× IR
3
−→ IR
(A.2)
(t, x, ˙
x) →
1
2
m ˙
x
2
− V (x, t).
Le principe de moindre action
1 stipule que les trajectoires classiques
2 sont
les points critiques de l’action. Si donc on a observé le système au point x 0
à l’instant t 0 , puis au point x 1 à l’instant t 1 , celui-ci aura emprunté entre
ces deux instants une trajectoire q ∈ H
1 ([t 0 , t], IR
n ) vérifiant q(t 0 ) = x 0 ,
q(t 1 ) = x 1 et
∀h ∈ H
1
0 ([t 0 , t 1 ], IR
n ),
dS(q) · h = 0.
1 Qu’il faudrait en toute rigueur appeler principe d’action stationnaire.
2 Les trajectoires classiques sont par définition les trajectoires que peuvent emprunter les particules classiques.
A Introduction à la mécanique quantique
A tout instant t, la particule occupe une position x(t) dans l’espace physique
identifié à IR
3 par choix d’un repère galiléen. La loi d’évolution de x(t) est
donnée par l’équation de Newton
m¨ x(t) = −∇V (x(t), t).
(A.1)
A tout instant t, l’état de la particule est complètement décrit par le couple
position-vitesse (x(t), ˙
x(t)) : si on connaît ces deux grandeurs physiques, on
peut prévoir le résultat de la mesure de n’importe quelle autre grandeur physique (impulsion, moment cinétique, énergie potentielle, énergie cinétique,
énergie totale) associée à la dynamique de la particule. On peut en outre
(en théorie) décrire la passé et le futur de la particule en intégrant l’équation
de Newton.
Les lois de la mécanique classique peuvent être reformulées, comme d’ailleurs
toute la physique classique, en un principe de moindre action. Rappelons de
quoi il s’agit.
Pour un système décrit à l’instant t dans l’espace position-vitesse par le couple
(x(t), ˙
x(t)) ∈ IR
n
× IR
n , on définit l’action associée à un chemin
q : [t 0 , t 1 ] −→ IR
n
t
→ x(t)
(qui peut être ou non une trajectoire physiquement admissible) par
S(q) =
t1
t0
L (t, x(t), ˙
x(t)) dt,
où L désigne le lagrangien du système. Dans le cas que nous examinons (un
point matériel de IR
3 de masse m soumis à un potentiel extérieur V ), le
lagrangien est défini comme l’application
L : IR × IR
3
× IR
3
−→ IR
(A.2)
(t, x, ˙
x) →
1
2
m ˙
x
2
− V (x, t).
Le principe de moindre action
1 stipule que les trajectoires classiques
2 sont
les points critiques de l’action. Si donc on a observé le système au point x 0
à l’instant t 0 , puis au point x 1 à l’instant t 1 , celui-ci aura emprunté entre
ces deux instants une trajectoire q ∈ H
1 ([t 0 , t], IR
n ) vérifiant q(t 0 ) = x 0 ,
q(t 1 ) = x 1 et
∀h ∈ H
1
0 ([t 0 , t 1 ], IR
n ),
dS(q) · h = 0.
1 Qu’il faudrait en toute rigueur appeler principe d’action stationnaire.
2 Les trajectoires classiques sont par définition les trajectoires que peuvent emprunter les particules classiques.