11.7 Méthodes de Monte Carlo
323
E(t) =
I R 3N
E L dµ t .
(11.40)
Pour ψ I choisie suffisamment proche de ψ B pour que la variance var µt (E L ) =
I R 3N
E
2
L dµ t −
I R 3N
E L dµ t
2
de E L pour les mesures dµ t soit faible (noter
que var µt (E L ) = 0 si ψ I = ψ B , puisqu’alors E L (x) = Cste), l’expression
(11.40) fournit un moyen efficace de calculer E(t). Pour simuler dµ t on peut
interpréter (11.39) comme l’équation de Fokker-Planck associée à un certain
processus : les termes
1
2
∆f , −div (bf ) et −E L f correspondent respectivement
à un processus de diffusion, de dérive et de mort-naissance.
L’exploitation des formules (11.38) et (11.39) est une approche “exacte” et
extrêmement efficace pour les systèmes bosoniques, mais “biaisée” (et de ce
fait un peu moins efficace) pour les systèmes fermioniques. Elle introduit en
effet une erreur systématique, sauf dans le cas très particulier où les surfaces
nodales de ψ 0 et de ψ I coïncident. Cela vient de ce que le processus qu’on
associe à (11.39) ne peut pas franchir les surfaces nodales de ψ I . D’un point
de vue EDP, cela se traduit par le fait que le problème (11.39) possède plusieurs solutions faibles, et que celle qui nous intéresse, à savoir f 1 , ne coïncide
pas avec celle qu’on obtient en considérant la densité du processus associé à
(11.39). L’approximation qui découle de l’introduction d’une fonction d’importance ψ I qui n’a pas les mêmes surfaces nodales que ψ 0 est appelée la Fixed
Node Approximation (FNA). Une analyse mathématique de la FNA, dans un
cadre un peu simplifié, peut être lue dans [51].
La quasi-totalité des calculs Quantum Monte Carlo fermioniques effectués
à l’heure actuelle sont basés sur la technique d’importance sampling décrite
ci-dessus, et génèrent donc une erreur due à la FNA. Certains groupes ont
certes développé des techniques pour corriger cette erreur systématique, mais
dont l’utilisation est encore limitée soit aux systèmes à petit nombre d’électrons, soit aux gaz homogènes d’électrons (des calculs QMC très précis sur des
gaz homogènes d’électrons permettent de caler les paramètres des fonctionnelles d’échange-corrélation utilisées en DFT). La construction de méthodes
de Monte-Carlo qui s’affranchissent de la FNA est un défi majeur à relever.
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E(t) =
I R 3N
E L dµ t .
(11.40)
Pour ψ I choisie suffisamment proche de ψ B pour que la variance var µt (E L ) =
I R 3N
E
2
L dµ t −
I R 3N
E L dµ t
2
de E L pour les mesures dµ t soit faible (noter
que var µt (E L ) = 0 si ψ I = ψ B , puisqu’alors E L (x) = Cste), l’expression
(11.40) fournit un moyen efficace de calculer E(t). Pour simuler dµ t on peut
interpréter (11.39) comme l’équation de Fokker-Planck associée à un certain
processus : les termes
1
2
∆f , −div (bf ) et −E L f correspondent respectivement
à un processus de diffusion, de dérive et de mort-naissance.
L’exploitation des formules (11.38) et (11.39) est une approche “exacte” et
extrêmement efficace pour les systèmes bosoniques, mais “biaisée” (et de ce
fait un peu moins efficace) pour les systèmes fermioniques. Elle introduit en
effet une erreur systématique, sauf dans le cas très particulier où les surfaces
nodales de ψ 0 et de ψ I coïncident. Cela vient de ce que le processus qu’on
associe à (11.39) ne peut pas franchir les surfaces nodales de ψ I . D’un point
de vue EDP, cela se traduit par le fait que le problème (11.39) possède plusieurs solutions faibles, et que celle qui nous intéresse, à savoir f 1 , ne coïncide
pas avec celle qu’on obtient en considérant la densité du processus associé à
(11.39). L’approximation qui découle de l’introduction d’une fonction d’importance ψ I qui n’a pas les mêmes surfaces nodales que ψ 0 est appelée la Fixed
Node Approximation (FNA). Une analyse mathématique de la FNA, dans un
cadre un peu simplifié, peut être lue dans [51].
La quasi-totalité des calculs Quantum Monte Carlo fermioniques effectués
à l’heure actuelle sont basés sur la technique d’importance sampling décrite
ci-dessus, et génèrent donc une erreur due à la FNA. Certains groupes ont
certes développé des techniques pour corriger cette erreur systématique, mais
dont l’utilisation est encore limitée soit aux systèmes à petit nombre d’électrons, soit aux gaz homogènes d’électrons (des calculs QMC très précis sur des
gaz homogènes d’électrons permettent de caler les paramètres des fonctionnelles d’échange-corrélation utilisées en DFT). La construction de méthodes
de Monte-Carlo qui s’affranchissent de la FNA est un défi majeur à relever.