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11 Ouvertures
Supposons que la fonction ψ I (fontion d’importance) soit relativement proche
de ψ 0 et telle que les quantités locales
b(x) =
∇ψ I (x)
ψ I (x)
et
E L (x) =
(Hψ I )(x)
ψ I (x)
= −
1
2
∆ψ I (x)
ψ I (x)
+ V (x) (11.37)
ne soient pas trop coûteuses à évaluer numériquement (typiquement avec une
complexité algorithmique en N
3 ) pour presque tout x ∈ IR
3N .
Considérons la fonction
f 1 (t, x) = ψ I (x) φ(t, x).
L’expression (11.36) s’écrit aussi
E(t) =
I R 3
E L (x) f 1 (t, x) dx
I R 3
f 1 (t, x) dx
,
(11.38)
et un calcul simple montre que f 1 est solution de l’équation
∂f
∂t
=
1
2
∆f − div (bf ) − E L f
f (0, x) = ψ
2
I (x),
(11.39)
où les champs b et E L sont définis presque partout par (11.37).
Pour comprendre l’intérêt de cette reformulation, supposons un instant que
nous ayons affaire à des bosons plutôt qu’à des fermions. En clair, cela signifie
qu’on s’intéresse dans ce paragraphe au problème de la recherche du fondamental de l’opérateur H B = −
1
2 ∆ + V sur l’espace
N
⊗ S
i=1
L
2 (IR
3 ) des fonctions
symétriques (i.e. des fonctions ψ ∈ L
2 (IR
3N ) telles que ψ(x p(1) , · · · , x p(N ) ) =
ψ(x 1 , · · · , x N ) pour toute permutation p des indices). On suppose en outre
(pour simplifier) que le potentiel V est de classe C
∞ . Dans ce cas, le fondamental bosonique ψ B est non dégénéré, de classe C
∞ et (quitte à remplacer
ψ B par −ψ B ) strictement positif sur IR
3N . On peut alors choisir une fonction
d’importance ψ I possédant les mêmes propriétés de régularité et de positivité
que ψ B . Les champs b et E L sont alors C
∞ et le problème (11.39) admet
f 1 (t, x) = ψ I (x)
e
−tHB ψ I
(x) pour unique solution faible dans C
0
t L
1
x (par
exemple) ; en outre,
dµ t =
1
I R 3N f 1 (t, y) dy
f 1 (t, x) dx
définit pour tout t ≥ 0 une probabilité sur IR
3N (puisque f 1 est positive en
vertu du principe du maximum) qui permet d’écrire
11 Ouvertures
Supposons que la fonction ψ I (fontion d’importance) soit relativement proche
de ψ 0 et telle que les quantités locales
b(x) =
∇ψ I (x)
ψ I (x)
et
E L (x) =
(Hψ I )(x)
ψ I (x)
= −
1
2
∆ψ I (x)
ψ I (x)
+ V (x) (11.37)
ne soient pas trop coûteuses à évaluer numériquement (typiquement avec une
complexité algorithmique en N
3 ) pour presque tout x ∈ IR
3N .
Considérons la fonction
f 1 (t, x) = ψ I (x) φ(t, x).
L’expression (11.36) s’écrit aussi
E(t) =
I R 3
E L (x) f 1 (t, x) dx
I R 3
f 1 (t, x) dx
,
(11.38)
et un calcul simple montre que f 1 est solution de l’équation
∂f
∂t
=
1
2
∆f − div (bf ) − E L f
f (0, x) = ψ
2
I (x),
(11.39)
où les champs b et E L sont définis presque partout par (11.37).
Pour comprendre l’intérêt de cette reformulation, supposons un instant que
nous ayons affaire à des bosons plutôt qu’à des fermions. En clair, cela signifie
qu’on s’intéresse dans ce paragraphe au problème de la recherche du fondamental de l’opérateur H B = −
1
2 ∆ + V sur l’espace
N
⊗ S
i=1
L
2 (IR
3 ) des fonctions
symétriques (i.e. des fonctions ψ ∈ L
2 (IR
3N ) telles que ψ(x p(1) , · · · , x p(N ) ) =
ψ(x 1 , · · · , x N ) pour toute permutation p des indices). On suppose en outre
(pour simplifier) que le potentiel V est de classe C
∞ . Dans ce cas, le fondamental bosonique ψ B est non dégénéré, de classe C
∞ et (quitte à remplacer
ψ B par −ψ B ) strictement positif sur IR
3N . On peut alors choisir une fonction
d’importance ψ I possédant les mêmes propriétés de régularité et de positivité
que ψ B . Les champs b et E L sont alors C
∞ et le problème (11.39) admet
f 1 (t, x) = ψ I (x)
e
−tHB ψ I
(x) pour unique solution faible dans C
0
t L
1
x (par
exemple) ; en outre,
dµ t =
1
I R 3N f 1 (t, y) dy
f 1 (t, x) dx
définit pour tout t ≥ 0 une probabilité sur IR
3N (puisque f 1 est positive en
vertu du principe du maximum) qui permet d’écrire