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11 Ouvertures
11.7 Méthodes de Monte Carlo
Nous tenons à terminer ce chapitre, et donc ce livre, par quelques mots sur
l’utilisation des méthodes stochastiques dans le calcul de structures électroniques.
On désigne sous le nom de Quantum Monte Carlo (QMC) un ensemble de
méthodes probabilistes visant à résoudre un problème de mécanique quantique. Dans le cas qui nous intéresse, le problème en question est celui de la
recherche du fondamental électronique (problème (1.3)) que nous récrivons ici
en changeant un peu les notations par commodité :
inf
ψ, Hψ, ψ ∈
N
i=1
H
1 (IR
3 ), ψ L 2 = 1
(11.34)
où H désigne l’hamiltonien électronique à N corps
H = −
1
2
∆ + V
qui est auto-adjoint sur le produit tensoriel antisymétrisé
N
i=1
L
2
IR
3
. Le potentiel V s’écrit quant à lui
V(x) =
N
i=1
V (x i ) +
1≤i 1
|x i − x j |
x = (x 1 , · · · , x N ) ∈ IR
3N ,
où V désigne le potentiel coulombien crée par les noyaux.
Dans ce contexte, l’appellation Quantum Monte Carlo regroupe deux types
de méthodes :
1. les méthodes VMC (Variational Monte Carlo) ont pour objet d’évaluer,
pour une fonction ψ ∈
N
i=1
H
1 (IR
3 ) donnée, l’intégrale
ψ, Hψ =
1
2
I R 3N
|∇ψ|
2 +
I R 3N
Vψ
2 .
Cette méthode d’évaluation de la fonction ψ → →ψ, Hψ peut être utilisée
au sein d’un algorithme d’optimisation générique pour rechercher la fonction ψ Θ0 de plus basse énergie au sein d’une famille de fonctions (ψ Θ ), Θ
désignant un jeu de paramètres réels ;
2. les méthodes DMC (Diffusion Monte Carlo) que nous allons maintenant
décrire un peu plus précisément dans cette section.