11.6 Le contrôle des évolutions en chimie moléculaire
319
Schrödinger que le problème de contrôle optimal : la fonction cible ψ T étant
fixée, trouver E(t) réalisant le minimum de
inf
J(E), E ∈ L
2 ([0, T ], IR)
(11.31)
avec
J(E) = ψ(T, ·) − ψ T (·) L 2 (I R 3 ,C) +
α
2
E L 2 ([0,T ],I R)
(11.32)
et
⎧
⎨
⎩
i
∂ψ
∂t
= −∆ψ −
1
|x|
ψ +
|ψ|
2
1
|x|
ψ + (E(t) x 1 ) ψ,
ψ(t = 0, ·) = ψ 0 (·),
(11.33)
où x 1 désigne la première coordonnée et où α, ψ T et ψ 0 sont données (et
“convenables”) avait une solution dans un espace fonctionnel bien choisi.
D’autres travaux en cours [16] visent à étendre ce résultat de contrôlabilité
optimale dans des cadres largement plus généraux.
En complément des études mathématiques, il y a évidemment de nombreux développements numériques autour de ces questions de contrôle. Il serait impossible de tout décrire. Mais il est important de donner quelques traits saillants.
Quels sont, par exemple, les grands types d’attaque numérique pour le problème (11.31)-(11.32)-(11.33) ? Comme toujours dans un problème de minimisation, et nous l’avons vu au Chapitre 8, on peut adopter une stratégie
d’attaque directe du problème de minimisation par algorithmes de minimisation, ou tenter de résoudre les équations d’optimalité du problème (équations
d’Euler-Lagrange).
Pour la minimisation directe, la préférence actuelle va aux méthodes de nature
stochastique comme les algorithmes génétiques. La raison est double. D’abord
le problème est formidablement non convexe et les méthodes déterministes
restent souvent piégées dans des minimiseurs locaux. Ensuite, et ce point est
plus particulier au présent contexte, il y a un avantage à déterminer non pas
un champ optimal, mais une collection d’entre eux. Chacun peut révéler une
physique particulière, une voie spécifique pour arriver au résultat, l’un peut
être plus réalisable en pratique que les autres, etc. D’innombrables travaux
ont suivi cette voie. On pourra par exemple regarder [80, 20, 6, 19] sur des
questions d’orientation et d’alignement de molécules.
Pour la résolution des équations d’Euler-Lagrange, tout un arsenal de méthodes numériques peut aussi être développé, avec son cortège d’études d’analyse
numérique accompagnant les différentes méthodes.
Concluons en disant que, là comme ailleurs, c’est sans doute du “panachage”
des approches que sortiront les techniques les plus efficaces.
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Schrödinger que le problème de contrôle optimal : la fonction cible ψ T étant
fixée, trouver E(t) réalisant le minimum de
inf
J(E), E ∈ L
2 ([0, T ], IR)
(11.31)
avec
J(E) = ψ(T, ·) − ψ T (·) L 2 (I R 3 ,C) +
α
2
E L 2 ([0,T ],I R)
(11.32)
et
⎧
⎨
⎩
i
∂ψ
∂t
= −∆ψ −
1
|x|
ψ +
|ψ|
2
1
|x|
ψ + (E(t) x 1 ) ψ,
ψ(t = 0, ·) = ψ 0 (·),
(11.33)
où x 1 désigne la première coordonnée et où α, ψ T et ψ 0 sont données (et
“convenables”) avait une solution dans un espace fonctionnel bien choisi.
D’autres travaux en cours [16] visent à étendre ce résultat de contrôlabilité
optimale dans des cadres largement plus généraux.
En complément des études mathématiques, il y a évidemment de nombreux développements numériques autour de ces questions de contrôle. Il serait impossible de tout décrire. Mais il est important de donner quelques traits saillants.
Quels sont, par exemple, les grands types d’attaque numérique pour le problème (11.31)-(11.32)-(11.33) ? Comme toujours dans un problème de minimisation, et nous l’avons vu au Chapitre 8, on peut adopter une stratégie
d’attaque directe du problème de minimisation par algorithmes de minimisation, ou tenter de résoudre les équations d’optimalité du problème (équations
d’Euler-Lagrange).
Pour la minimisation directe, la préférence actuelle va aux méthodes de nature
stochastique comme les algorithmes génétiques. La raison est double. D’abord
le problème est formidablement non convexe et les méthodes déterministes
restent souvent piégées dans des minimiseurs locaux. Ensuite, et ce point est
plus particulier au présent contexte, il y a un avantage à déterminer non pas
un champ optimal, mais une collection d’entre eux. Chacun peut révéler une
physique particulière, une voie spécifique pour arriver au résultat, l’un peut
être plus réalisable en pratique que les autres, etc. D’innombrables travaux
ont suivi cette voie. On pourra par exemple regarder [80, 20, 6, 19] sur des
questions d’orientation et d’alignement de molécules.
Pour la résolution des équations d’Euler-Lagrange, tout un arsenal de méthodes numériques peut aussi être développé, avec son cortège d’études d’analyse
numérique accompagnant les différentes méthodes.
Concluons en disant que, là comme ailleurs, c’est sans doute du “panachage”
des approches que sortiront les techniques les plus efficaces.