318
11 Ouvertures
à quel point ce problème de contrôle par laser des évolutions chimiques est,
par de multiples aspects, fondamentalement différent de problèmes de contrôle
rencontrés dans les autres sciences de l’ingénieur (trajectoires de fusées, robotique, ...). Ces aspects sont, par exemple, les ordres de grandeur de temps,
d’espace, des énergies mises en jeu, les limitations ou non limitations techniques, la possibilité d’imaginer des champs laser qui deviendront réalité dans
un avenir proche, la possibilité de répétition d’expériences à des fréquences
phénoménales,... Il n’en reste pas moins que, dans ce domaine comme dans
les autres, beaucoup de dispositifs sont déjà des réalités expérimentales, et
l’évolution est quasi-quotidienne.
Regardons cela du point de vue mathématique.
La question mathématique dite de contrôlabilité exacte telle que nous l’avons
posée ci-dessus n’est pas soluble dans ce cadre à cause du caractère dit bilinéaire de ce type de contrôle. On notera en effet que dans (11.29) le contrôle
E(t) multiplie l’état ψ(t), ce qui laisse augurer d’immenses difficultés (heuristiquement, si l’état s’annule à un instant en un endroit, on n’a plus alors de
moyen d’action). Des résultats théoriques très sophistiqués ont été démontrés,
mais la situation reste peu claire. Ce qui est aujourd’hui à peu près connu dans
ce domaine est, soit la version “dimension finie” de ce problème, autrement
dit l’équation (11.29) après discrétisation sur une base finie de fonctions, soit
la version contrôle optimal .
Pour la première voie (dimension finie), il s’agit d’étudier la question : peut-on
trouver un champ E(t) tel que le vecteur colonne C(t), décrivant l’approximation de dimension finie de l’état du système au temps t, solution de
i¯ h
dC
dt
= A C − E(t) B C
(11.30)
avec C(0) = C 0 (C 0 donné) vérifie C(T ) = C T avec C T prescrit à l’avance ?
Bien entendu, les matrices A et B représentent respectivement l’hamiltonien
et le moment dipolaire. De nombreux résultats, pour la plupart reliés à des
questions de géométrie différentielle sur les groupes et algèbres de Lie, traitent
cette question. Des progrès sont néanmoins encore possibles. Citons aussi le
fait qu’on comprend mal aujourd’hui le lien qu’entretiennent les questions de
contrôlabilité du système original, posé en dimension infinie, avec les mêmes
questions posées sur l’approximation de dimension finie de ce système. De
même, on comprend mal les liens entre la contrôlabilité d’un système donné
et celle de son approximation au sens de la physique classique. Tout ceci devra
être clarifié dans l’avenir.
La seconde voie consiste en l’approche contrôle optimal. Il ne s’agit plus de
déterminer le contrôle qui amènera précisément le système dans l’état voulu,
mais un contrôle qui puisse l’amener aussi proche que possible, en un sens
flou à préciser, de cette cible. Par exemple, un résultat mathématique [57] a
consisté à montrer sur un système de type approximation de l’équation de
11 Ouvertures
à quel point ce problème de contrôle par laser des évolutions chimiques est,
par de multiples aspects, fondamentalement différent de problèmes de contrôle
rencontrés dans les autres sciences de l’ingénieur (trajectoires de fusées, robotique, ...). Ces aspects sont, par exemple, les ordres de grandeur de temps,
d’espace, des énergies mises en jeu, les limitations ou non limitations techniques, la possibilité d’imaginer des champs laser qui deviendront réalité dans
un avenir proche, la possibilité de répétition d’expériences à des fréquences
phénoménales,... Il n’en reste pas moins que, dans ce domaine comme dans
les autres, beaucoup de dispositifs sont déjà des réalités expérimentales, et
l’évolution est quasi-quotidienne.
Regardons cela du point de vue mathématique.
La question mathématique dite de contrôlabilité exacte telle que nous l’avons
posée ci-dessus n’est pas soluble dans ce cadre à cause du caractère dit bilinéaire de ce type de contrôle. On notera en effet que dans (11.29) le contrôle
E(t) multiplie l’état ψ(t), ce qui laisse augurer d’immenses difficultés (heuristiquement, si l’état s’annule à un instant en un endroit, on n’a plus alors de
moyen d’action). Des résultats théoriques très sophistiqués ont été démontrés,
mais la situation reste peu claire. Ce qui est aujourd’hui à peu près connu dans
ce domaine est, soit la version “dimension finie” de ce problème, autrement
dit l’équation (11.29) après discrétisation sur une base finie de fonctions, soit
la version contrôle optimal .
Pour la première voie (dimension finie), il s’agit d’étudier la question : peut-on
trouver un champ E(t) tel que le vecteur colonne C(t), décrivant l’approximation de dimension finie de l’état du système au temps t, solution de
i¯ h
dC
dt
= A C − E(t) B C
(11.30)
avec C(0) = C 0 (C 0 donné) vérifie C(T ) = C T avec C T prescrit à l’avance ?
Bien entendu, les matrices A et B représentent respectivement l’hamiltonien
et le moment dipolaire. De nombreux résultats, pour la plupart reliés à des
questions de géométrie différentielle sur les groupes et algèbres de Lie, traitent
cette question. Des progrès sont néanmoins encore possibles. Citons aussi le
fait qu’on comprend mal aujourd’hui le lien qu’entretiennent les questions de
contrôlabilité du système original, posé en dimension infinie, avec les mêmes
questions posées sur l’approximation de dimension finie de ce système. De
même, on comprend mal les liens entre la contrôlabilité d’un système donné
et celle de son approximation au sens de la physique classique. Tout ceci devra
être clarifié dans l’avenir.
La seconde voie consiste en l’approche contrôle optimal. Il ne s’agit plus de
déterminer le contrôle qui amènera précisément le système dans l’état voulu,
mais un contrôle qui puisse l’amener aussi proche que possible, en un sens
flou à préciser, de cette cible. Par exemple, un résultat mathématique [57] a
consisté à montrer sur un système de type approximation de l’équation de