11.5 La dynamique moléculaire
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Revenons alors à notre objectif. Soit il est de simuler une évolution particulière, et notre travail d’analyse numérique est essentiellement terminé. Des
résultats standard, que le lecteur lira dans les ouvrages appropriés, nous donneront des estimations sur la manière dont la solution numérique approche
la solution au temps t du système continu (attention, nous ne disons pas que
cela est simple, nous prétendons seulement que le champ scientifique est bien
couvert). Soit notre objectif est de calculer des moyennes, et alors il est beaucoup moins évident que l’analyse numérique existante soit mûre pour nous
fournir les bonnes notions : en quel sens la moyenne d’opérateurs calculée
avec le schéma discret redonnera la moyenne (11.26) ? Comment modifier les
schémas d’intégration pour obtenir les calculs de moyenne les plus efficaces
possibles ?
Sur un autre plan, il est instructif en cette fin de section de résumer ce que
signifie en pratique simuler une dynamique adiabatique, c’est-à-dire le système
(11.22) (par exemple). La simulation est donc une succession de trois étapes
effectuées à chaque pas de temps de longueur ∆t,
1. la résolution du problème électronique de type Hartree-Fock pour la configuration de noyaux courante (cette étape est elle-même un algorithme
itératif du type de ceux vus au Chapitre 6 où chaque itération est une
diagonalisation de système linéaire) ; à la fin de cette étape, on dispose
donc de l’état électronique et du potentiel U (¯ x 1 , ..., ¯
x N ) ;
2. un calcul des dérivées ∇ ¯
xi U (¯ x 1 , ..., ¯
x N ) par technique de dérivées analytiques ;
3. une avancée d’un pas de temps, par un schéma du type (11.27) (où W
remplace V ), des équations de la dynamique moléculaire en y insérant les
valeurs de
∇ ¯
x k W (¯ x 1 , · · · , ¯
x N ) = ∇ ¯
x k U (¯ x 1 , · · · , ¯
x N ) + ∇ ¯
x k
⎛
⎝
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
⎞
⎠ .
Le lecteur mesure sans peine la lourdeur d’une telle simulation. Il est cependant possible d’encore compliquer les choses ! On peut par exemple coupler
de telles simulations de dynamique moléculaire avec des simulations de type
éléments finis pour atteindre des tailles macroscopiques. Ceci se fait dans l’esprit de ce qui a été montré, dans un cadre stationnaire, à la Section 11.3.
Ainsi, il existe des simulations couplées chimie quantique/dynamique moléculaire/éléments finis de dynamique de fracture au sein des matériaux par
exemple.
D’autre part, comme annoncé ci-dessus, même une fois la simulation menée
à bien, la tâche n’est pas terminée, quand le but est de simuler les temps
longs. Aujourd’hui, on ne peut guère aller au-delà de temps de l’ordre de la
nanoseconde, même en prenant une dynamique moléculaire classique (d’où
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Revenons alors à notre objectif. Soit il est de simuler une évolution particulière, et notre travail d’analyse numérique est essentiellement terminé. Des
résultats standard, que le lecteur lira dans les ouvrages appropriés, nous donneront des estimations sur la manière dont la solution numérique approche
la solution au temps t du système continu (attention, nous ne disons pas que
cela est simple, nous prétendons seulement que le champ scientifique est bien
couvert). Soit notre objectif est de calculer des moyennes, et alors il est beaucoup moins évident que l’analyse numérique existante soit mûre pour nous
fournir les bonnes notions : en quel sens la moyenne d’opérateurs calculée
avec le schéma discret redonnera la moyenne (11.26) ? Comment modifier les
schémas d’intégration pour obtenir les calculs de moyenne les plus efficaces
possibles ?
Sur un autre plan, il est instructif en cette fin de section de résumer ce que
signifie en pratique simuler une dynamique adiabatique, c’est-à-dire le système
(11.22) (par exemple). La simulation est donc une succession de trois étapes
effectuées à chaque pas de temps de longueur ∆t,
1. la résolution du problème électronique de type Hartree-Fock pour la configuration de noyaux courante (cette étape est elle-même un algorithme
itératif du type de ceux vus au Chapitre 6 où chaque itération est une
diagonalisation de système linéaire) ; à la fin de cette étape, on dispose
donc de l’état électronique et du potentiel U (¯ x 1 , ..., ¯
x N ) ;
2. un calcul des dérivées ∇ ¯
xi U (¯ x 1 , ..., ¯
x N ) par technique de dérivées analytiques ;
3. une avancée d’un pas de temps, par un schéma du type (11.27) (où W
remplace V ), des équations de la dynamique moléculaire en y insérant les
valeurs de
∇ ¯
x k W (¯ x 1 , · · · , ¯
x N ) = ∇ ¯
x k U (¯ x 1 , · · · , ¯
x N ) + ∇ ¯
x k
⎛
⎝
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
⎞
⎠ .
Le lecteur mesure sans peine la lourdeur d’une telle simulation. Il est cependant possible d’encore compliquer les choses ! On peut par exemple coupler
de telles simulations de dynamique moléculaire avec des simulations de type
éléments finis pour atteindre des tailles macroscopiques. Ceci se fait dans l’esprit de ce qui a été montré, dans un cadre stationnaire, à la Section 11.3.
Ainsi, il existe des simulations couplées chimie quantique/dynamique moléculaire/éléments finis de dynamique de fracture au sein des matériaux par
exemple.
D’autre part, comme annoncé ci-dessus, même une fois la simulation menée
à bien, la tâche n’est pas terminée, quand le but est de simuler les temps
longs. Aujourd’hui, on ne peut guère aller au-delà de temps de l’ordre de la
nanoseconde, même en prenant une dynamique moléculaire classique (d’où