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11 Ouvertures
affirmer que la moyenne spatiale A d’une observable
1 peut s’obtenir par
le calcul de
A = lim
T −→+∞
1
T
T
0
A(p(t), q(t)) dt,
(11.26)
où (p(t), q(t)) est une trajectoire en temps du système. D’où la nécessité de
calculer cette trajectoire en temps long, et les questions soulevées dans cette
section. Les questions d’analyse numérique qui se posent peuvent donc être
un peu différentes du contexte habituel.
Regardons maintenant la résolution numérique. Pour intégrer numériquement
(11.25), un des schémas les plus populaires est le schéma suivant
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
p
n+1
i
= p
n
i − ∆t ∇ qi V
q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N
,
q
n+1
i
= q
n
i + ∆t p
n
i −
1
2
(∆t)
2
∇ qi V
q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N
,
(11.27)
où on a noté p i =
dq i
dt
. On appelle ce schéma l’algorithme de Verlet.
En s’inspirant de la définition de Φ t , on définit le flot numérique associé pour
n ≥ 0 au schéma (11.27). Il s’agit de l’application Φ n qui associe le couple
(p
n , q
n ) au couple (p
0 , q
0 ). Un calcul simple montre que, si l’on considère
maintenant un domaine D de l’espace des phases, ce domaine voit son volume
exactement conservé par le flot numérique Φ n . Cette propriété de conservation
du volume au niveau discret fait le grand intérêt de ce schéma numérique, puisqu’il reproduit les propriétés du niveau continu. En fait, le schéma numérique
reproduit une propriété plus générale présente déjà au niveau continu : la symplecticité. Ceci explique que l’on observe en fait dans la pratique numérique
qu’un tel schéma exhibe le plus souvent une propriété a priori miraculeuse : il
conserve presque exactement l’énergie du système hamiltonien, et ce même sur
les longs temps d’intégration, ce qui est une propriété redoutablement intéressante. Cette propriété peut s’expliquer par l’analyse numérique. En effet,
on peut montrer que le flot numérique associé à un schéma numérique symplectique est (quasiment) le flot exact d’un système hamiltonien qui approche
le système original. En réalité, si on veut être plus rigoureux, ce flot numérique est exponentiellement proche du flot exact d’un système hamiltonien,
l’expression exponentiellement proche signifiant proche à l’ordre exp(−
1
∆t
)
sur un pas de temps ∆t. En tant que (quasiment) flot exact, ce flot conserve
donc exactement l’énergie associée à ce nouveau système hamiltonien, laquelle
est proche de l’énergie du système original. D’où la conservation approchée
de l’énergie du système original, propriété capitale pour la pratique.
1 Il s’agit plus précisément de la moyenne d’une fonction A(q, p) sur l’espace des
phases IR
3N × IR
3N relativement à une certaine mesure sur cet espace correspondant à l’ensemble thermodynamique dans lequel on effectue le calcul, ici l’ensemble micro-canonique NVE ; ces notions sont précisées dans [11].
11 Ouvertures
affirmer que la moyenne spatiale A d’une observable
1 peut s’obtenir par
le calcul de
A = lim
T −→+∞
1
T
T
0
A(p(t), q(t)) dt,
(11.26)
où (p(t), q(t)) est une trajectoire en temps du système. D’où la nécessité de
calculer cette trajectoire en temps long, et les questions soulevées dans cette
section. Les questions d’analyse numérique qui se posent peuvent donc être
un peu différentes du contexte habituel.
Regardons maintenant la résolution numérique. Pour intégrer numériquement
(11.25), un des schémas les plus populaires est le schéma suivant
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
p
n+1
i
= p
n
i − ∆t ∇ qi V
q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N
,
q
n+1
i
= q
n
i + ∆t p
n
i −
1
2
(∆t)
2
∇ qi V
q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N
,
(11.27)
où on a noté p i =
dq i
dt
. On appelle ce schéma l’algorithme de Verlet.
En s’inspirant de la définition de Φ t , on définit le flot numérique associé pour
n ≥ 0 au schéma (11.27). Il s’agit de l’application Φ n qui associe le couple
(p
n , q
n ) au couple (p
0 , q
0 ). Un calcul simple montre que, si l’on considère
maintenant un domaine D de l’espace des phases, ce domaine voit son volume
exactement conservé par le flot numérique Φ n . Cette propriété de conservation
du volume au niveau discret fait le grand intérêt de ce schéma numérique, puisqu’il reproduit les propriétés du niveau continu. En fait, le schéma numérique
reproduit une propriété plus générale présente déjà au niveau continu : la symplecticité. Ceci explique que l’on observe en fait dans la pratique numérique
qu’un tel schéma exhibe le plus souvent une propriété a priori miraculeuse : il
conserve presque exactement l’énergie du système hamiltonien, et ce même sur
les longs temps d’intégration, ce qui est une propriété redoutablement intéressante. Cette propriété peut s’expliquer par l’analyse numérique. En effet,
on peut montrer que le flot numérique associé à un schéma numérique symplectique est (quasiment) le flot exact d’un système hamiltonien qui approche
le système original. En réalité, si on veut être plus rigoureux, ce flot numérique est exponentiellement proche du flot exact d’un système hamiltonien,
l’expression exponentiellement proche signifiant proche à l’ordre exp(−
1
∆t
)
sur un pas de temps ∆t. En tant que (quasiment) flot exact, ce flot conserve
donc exactement l’énergie associée à ce nouveau système hamiltonien, laquelle
est proche de l’énergie du système original. D’où la conservation approchée
de l’énergie du système original, propriété capitale pour la pratique.
1 Il s’agit plus précisément de la moyenne d’une fonction A(q, p) sur l’espace des
phases IR
3N × IR
3N relativement à une certaine mesure sur cet espace correspondant à l’ensemble thermodynamique dans lequel on effectue le calcul, ici l’ensemble micro-canonique NVE ; ces notions sont précisées dans [11].