308
11 Ouvertures
pour le cas d’un matériau mécanique qui, vu à l’échelle microscopique, est
un cristal parfait. Ainsi, pour l’exemple du modèle (11.9), on aurait comme
premier terme de la fonctionnelle d’énergie dans (11.11)
Ω
inf
(∇ϕ(x))·Γ
ρ
5/3 +
(∇ϕ(x))·Γ
|∇φ|
2 , −∆φ =
∞
k=1
δ (∇ϕ(x))·¯ x k − ρ,
(φ, ρ) fonctions [(∇ϕ(x)) · Γ ] − périodiques, ρ ≥ 0,
∇ϕ(x)Γ
ρ = 1
dx.
(11.14)
On pourrait de même, et des travaux sont en cours dans cette direction,
tenter de dériver explicitement ainsi des énergies de surface (très utiles pour
la chimie des solides, qui se situe essentiellement à la surface de ceux-ci), des
énergies d’interface dans les matériaux, des énergies de dislocations (cause de
la plasticité dans les matériaux cristallins), etc.
Dans ce domaine encore, rien n’est clos du point de vue mathématique, et les
années qui viennent sont susceptibles d’amener de nombreux progrès.
Sur le plan numérique, de nombreuses stratégies sont en train de se mettre
en place pour simuler des matériaux à l’aide d’énergies du type (11.14). La
recherche en calcul scientifique est très active dans un tel domaine.
11.4 Modèles ab initio pour les problèmes dépendant
du temps
Les réactions chimiques sont des phénomènes fondamentalement dynamiques.
Pour les étudier, il est nécessaire de simuler l’évolution du système, autrement
dit de résoudre l’équation de Schrödinger dépendant du temps
i
∂
∂t
Ψ = H Ψ,
(11.15)
dans laquelle l’opérateur
H = −
M
k=1
1
2m k
∆ ¯
x k −
N
i=1
1
2
∆ xi −
N
i=1
M
k=1
z k
|x i − ¯
x k |
(11.16)
+
1≤i
|x i − x j |
+
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
désigne l’hamiltonien du système et
Ψ (t; ¯
x 1 ; · · · ; ¯
x M ; x 1 ; · · · ; x N )
11 Ouvertures
pour le cas d’un matériau mécanique qui, vu à l’échelle microscopique, est
un cristal parfait. Ainsi, pour l’exemple du modèle (11.9), on aurait comme
premier terme de la fonctionnelle d’énergie dans (11.11)
Ω
inf
(∇ϕ(x))·Γ
ρ
5/3 +
(∇ϕ(x))·Γ
|∇φ|
2 , −∆φ =
∞
k=1
δ (∇ϕ(x))·¯ x k − ρ,
(φ, ρ) fonctions [(∇ϕ(x)) · Γ ] − périodiques, ρ ≥ 0,
∇ϕ(x)Γ
ρ = 1
dx.
(11.14)
On pourrait de même, et des travaux sont en cours dans cette direction,
tenter de dériver explicitement ainsi des énergies de surface (très utiles pour
la chimie des solides, qui se situe essentiellement à la surface de ceux-ci), des
énergies d’interface dans les matériaux, des énergies de dislocations (cause de
la plasticité dans les matériaux cristallins), etc.
Dans ce domaine encore, rien n’est clos du point de vue mathématique, et les
années qui viennent sont susceptibles d’amener de nombreux progrès.
Sur le plan numérique, de nombreuses stratégies sont en train de se mettre
en place pour simuler des matériaux à l’aide d’énergies du type (11.14). La
recherche en calcul scientifique est très active dans un tel domaine.
11.4 Modèles ab initio pour les problèmes dépendant
du temps
Les réactions chimiques sont des phénomènes fondamentalement dynamiques.
Pour les étudier, il est nécessaire de simuler l’évolution du système, autrement
dit de résoudre l’équation de Schrödinger dépendant du temps
i
∂
∂t
Ψ = H Ψ,
(11.15)
dans laquelle l’opérateur
H = −
M
k=1
1
2m k
∆ ¯
x k −
N
i=1
1
2
∆ xi −
N
i=1
M
k=1
z k
|x i − ¯
x k |
(11.16)
+
1≤i
|x i − x j |
+
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
désigne l’hamiltonien du système et
Ψ (t; ¯
x 1 ; · · · ; ¯
x M ; x 1 ; · · · ; x N )