11.3 De la physique des solides à la mécanique des matériaux
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La détermination de cette densité W peut se faire à l’aide d’arguments de
mécanique, de campagnes d’expériences sur des matériaux éprouvettes, etc.
La difficulté essentielle en ce domaine est que quand les matériaux sont soumis
à des conditions extrêmes, ou quand il s’agit de nouveaux matériaux mal
connus, la détermination de W n’est souvent pas évidente. D’où l’idée naturelle
d’essayer de la déterminer à partir du niveau microsopique.
Comment faire ?
Dans un premier temps, il nous faut passer de la molécule à l’assemblage
infini de molécules. Bien sûr, dans la réalité, il ne s’agit pas d’une infinité
de molécules, mais d’un nombre fabuleusement grand (le nombre d’Avogadro,
qui représente le nombre de molécules dans une mole de matière (dans 12
grammes de Carbone 12 par exemple) est de l’ordre de 10
23 ). Un tel nombre,
est, du point de vue de la modélisation, égal à l’infini (et ce même si, du point
de vue mathématique, cette phrase est une hérésie). En effet, aucun ordinateur
ne saurait mener à bien le calcul d’une énergie d’interaction du type
1≤i
(11.12)
et il faut donc trouver, même dans le cadre simple d’un potentiel de paire, un
autre moyen de calculer l’énergie d’un tel ensemble.
Passer d’une molécule à une infinité d’entre elles, c’est précisément ce que
nous avons fait avec notre stratégie de limite thermodynamique.
Mais, il vient alors une seconde étape. Pour obtenir un modèle de comportement mécanique d’un matériau donné, il faut regarder ce matériau à l’échelle
macroscopique (le mètre, ou au moins le millimètre) alors que pour le moment
nos modèles d’énergie restent microscopiques. Ainsi, la mesure de l’espace
IR
3 que nous manipulons correspond à une échelle microscopique (voir par
exemple (11.9)). Il s’agit donc maintenant de changer d’échelle.
De nombreuses stratégies existent pour ces questions de changement d’échelles.
D’une manière simplissime, elles reviennent toutes à écrire que les modèles de
l’échelle atomique sont à l’échelle ε (remplacer par exemple la distance |¯ x i − ¯
x j |
entre deux noyaux par ε|¯ x i − ¯
x j |), et à laisser dans ces modèles ε tendre vers
0 en même temps que le nombre de particules N tend vers l’infini. Nous ne
pouvons pas décrire toutes les stratégies (certaines sont encore reliées aux
questions de Gamma-limite déjà évoquées ci-dessus). Contentons-nous d’en
mentionner une récente, [36, 34], consistant à remplacer la somme (11.12) par
une intégrale adéquate, et à en déduire une forme particulière de fonctionnelle
W à savoir
W (ϕ)(x) = Energie microscopique (modèle du type (11.9) par exemple)
du cristal périodique de référence déformé par l’application
linéaire ∇ϕ(x)
(11.13)
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La détermination de cette densité W peut se faire à l’aide d’arguments de
mécanique, de campagnes d’expériences sur des matériaux éprouvettes, etc.
La difficulté essentielle en ce domaine est que quand les matériaux sont soumis
à des conditions extrêmes, ou quand il s’agit de nouveaux matériaux mal
connus, la détermination de W n’est souvent pas évidente. D’où l’idée naturelle
d’essayer de la déterminer à partir du niveau microsopique.
Comment faire ?
Dans un premier temps, il nous faut passer de la molécule à l’assemblage
infini de molécules. Bien sûr, dans la réalité, il ne s’agit pas d’une infinité
de molécules, mais d’un nombre fabuleusement grand (le nombre d’Avogadro,
qui représente le nombre de molécules dans une mole de matière (dans 12
grammes de Carbone 12 par exemple) est de l’ordre de 10
23 ). Un tel nombre,
est, du point de vue de la modélisation, égal à l’infini (et ce même si, du point
de vue mathématique, cette phrase est une hérésie). En effet, aucun ordinateur
ne saurait mener à bien le calcul d’une énergie d’interaction du type
1≤i
(11.12)
et il faut donc trouver, même dans le cadre simple d’un potentiel de paire, un
autre moyen de calculer l’énergie d’un tel ensemble.
Passer d’une molécule à une infinité d’entre elles, c’est précisément ce que
nous avons fait avec notre stratégie de limite thermodynamique.
Mais, il vient alors une seconde étape. Pour obtenir un modèle de comportement mécanique d’un matériau donné, il faut regarder ce matériau à l’échelle
macroscopique (le mètre, ou au moins le millimètre) alors que pour le moment
nos modèles d’énergie restent microscopiques. Ainsi, la mesure de l’espace
IR
3 que nous manipulons correspond à une échelle microscopique (voir par
exemple (11.9)). Il s’agit donc maintenant de changer d’échelle.
De nombreuses stratégies existent pour ces questions de changement d’échelles.
D’une manière simplissime, elles reviennent toutes à écrire que les modèles de
l’échelle atomique sont à l’échelle ε (remplacer par exemple la distance |¯ x i − ¯
x j |
entre deux noyaux par ε|¯ x i − ¯
x j |), et à laisser dans ces modèles ε tendre vers
0 en même temps que le nombre de particules N tend vers l’infini. Nous ne
pouvons pas décrire toutes les stratégies (certaines sont encore reliées aux
questions de Gamma-limite déjà évoquées ci-dessus). Contentons-nous d’en
mentionner une récente, [36, 34], consistant à remplacer la somme (11.12) par
une intégrale adéquate, et à en déduire une forme particulière de fonctionnelle
W à savoir
W (ϕ)(x) = Energie microscopique (modèle du type (11.9) par exemple)
du cristal périodique de référence déformé par l’application
linéaire ∇ϕ(x)
(11.13)