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11 Ouvertures
Il faut bien sûr noter qu’il est possible de poser une question théorique de
difficulté intermédiaire, à savoir la question : parmi les géométries périodiques
y en a-t-il une d’énergie minimale ? Cette question est en quelque sorte un
préalable, puisque si l’on croit au fait que la configuration d’énergie minimale
parmi toutes les configurations possibles est périodique, celle-ci sera aussi minimale parmi les configurations périodiques. Ce problème, dit de géométrie
périodique optimale, a été traité pour les modèles quantiques de ce cours dans
les références [31, 30]. Il y est montré qu’effectivement une géométrie périodique optimale existe, mais rien n’est connu sur son éventuelle unicité.
Du point de vue numérique, on peut évidemment aller au delà du cadre restreint des études théoriques. Toute une gamme de résultats numériques obtenus dans beaucoup de contextes et par une grande variété d’outils numériques
montrent que pour beaucoup de lois d’interaction interatomiques classiques
(aucun modèle quantique raisonnable n’a été traité à ce jour) la configuration
la plus stable, sur des grands nombres (évidemment non infinis) de noyaux
est périodique. Mais la question surgit alors de savoir si l’on “croit” à une
démonstration numérique !
11.3 De la physique des solides à la mécanique
des matériaux
Un des objectifs scientifiques majeurs dans lequels les mathématiques appliquées pourraient apporter une contribution significative est la détermination
des lois macroscopiques de la matière à partir des lois microscopiques. Réexaminons les sections précédentes dans cet esprit. Imaginons que, partant
d’un modèle quantique pour la description de la structure moléculaire d’un
matériau, nous voulions parvenir à décrire ses propriétés mécaniques. Formalisons cet objectif de la manière suivante : en mécanique des milieux continus,
le problème canonique est de déterminer l’état mécanique d’un corps remplissant le domaine macroscopique Ω, sous l’effet de forces de volume f , de
forces au bord g, et sous des conditions au bord imposées. Pour des matériaux
élastiques, ce problème correspond à la minimisation
inf
Ω
W (ϕ)(x) dx −
Ω
f ϕ −
∂Ω
gϕ, ϕ mécaniquement admissible
et vérifiant les conditions au bord imposées
,
(11.11)
où ϕ décrit la déformation du corps en question par rapport à une configuration de référence, et W est une fonctionnelle d’énergie qu’on appelle densité
d’énergie élastique.
11 Ouvertures
Il faut bien sûr noter qu’il est possible de poser une question théorique de
difficulté intermédiaire, à savoir la question : parmi les géométries périodiques
y en a-t-il une d’énergie minimale ? Cette question est en quelque sorte un
préalable, puisque si l’on croit au fait que la configuration d’énergie minimale
parmi toutes les configurations possibles est périodique, celle-ci sera aussi minimale parmi les configurations périodiques. Ce problème, dit de géométrie
périodique optimale, a été traité pour les modèles quantiques de ce cours dans
les références [31, 30]. Il y est montré qu’effectivement une géométrie périodique optimale existe, mais rien n’est connu sur son éventuelle unicité.
Du point de vue numérique, on peut évidemment aller au delà du cadre restreint des études théoriques. Toute une gamme de résultats numériques obtenus dans beaucoup de contextes et par une grande variété d’outils numériques
montrent que pour beaucoup de lois d’interaction interatomiques classiques
(aucun modèle quantique raisonnable n’a été traité à ce jour) la configuration
la plus stable, sur des grands nombres (évidemment non infinis) de noyaux
est périodique. Mais la question surgit alors de savoir si l’on “croit” à une
démonstration numérique !
11.3 De la physique des solides à la mécanique
des matériaux
Un des objectifs scientifiques majeurs dans lequels les mathématiques appliquées pourraient apporter une contribution significative est la détermination
des lois macroscopiques de la matière à partir des lois microscopiques. Réexaminons les sections précédentes dans cet esprit. Imaginons que, partant
d’un modèle quantique pour la description de la structure moléculaire d’un
matériau, nous voulions parvenir à décrire ses propriétés mécaniques. Formalisons cet objectif de la manière suivante : en mécanique des milieux continus,
le problème canonique est de déterminer l’état mécanique d’un corps remplissant le domaine macroscopique Ω, sous l’effet de forces de volume f , de
forces au bord g, et sous des conditions au bord imposées. Pour des matériaux
élastiques, ce problème correspond à la minimisation
inf
Ω
W (ϕ)(x) dx −
Ω
f ϕ −
∂Ω
gϕ, ϕ mécaniquement admissible
et vérifiant les conditions au bord imposées
,
(11.11)
où ϕ décrit la déformation du corps en question par rapport à une configuration de référence, et W est une fonctionnelle d’énergie qu’on appelle densité
d’énergie élastique.