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11 Ouvertures
Quelques questions techniques restent en suspens, mais l’essentiel dans ce
domaine semble être réglé.
11.2.2 D’autres systèmes : périodiques, presque, ou pas du tout
Dans la même veine qu’on l’a fait pour les cristaux, on a étudié dans [32] des
modèles pour les polymères linéiques (des cristaux mono-dimensionnels) ou
des films fins (des cristaux bi-dimensionnels). On a aussi étudié dans [64] des
systèmes, mono, bi ou tridimensionnels présentant des géométries non périodiques, mais proches de l’être, comme des géométries dites quasi ou presque
périodiques (lesquelles sont effectivement observées, dans des composés appelés quasi-cristaux, et synthétisées dans la pratique pour certaines applications
particulières).
On a même plus récemment montré dans [35] la validité des raisonnements de
limite thermodynamique pour des géométries très générales, pourvu qu’elles
exhibent des propriétés “du type de la périodicité ou de ses extensions”, mais
moins contraignantes.
L’ensemble des cas étudiés peut se résumer dans l’assertion suivante. Fixonsnous un “bon” modèle moléculaire, comme ceux des Chapitres 2, 3, 4 et 5.
Pour simplifier, nous supposerons qu’il s’agit du problème de minimisation
suivant
inf
I R 3
ρ
5/3 +
I R 3
|∇φ|
2 , −∆φ =
N
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions sur IR
3 , ρ ≥ 0,
I R 3
ρ = N
.
(11.8)
Ce problème est en fait une réécriture du modèle de Thomas-Fermi, à quelques
détails mathématiques près dans lesquels nous ne voulons pas rentrer ici (mais
qui bien sûr peuvent être consultés dans les références bibliographiques). Alors
si les noyaux (ici pris de charge unité) placés en les ¯
x k tendent vers une
structure périodique quand N tend vers l’infini, le modèle obtenu est
inf
Γ
ρ
5/3 +
Γ
|∇φ|
2 , −∆φ =
∞
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions Γ − périodiques, ρ ≥ 0,
Γ
ρ = 1
(11.9)
où Γ désigne le domaine de périodicité de cette structure. De même si la
structure limite n’est pas périodique mais permet malgré tout de définir des
moyennes de fonctions sur l’espace, le problème de minimisation obtenu sera
inf
ρ
5/3
+ |∇φ|
2
, −∆φ =
∞
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions ayant une moyenne , ρ ≥ 0, ρ = 1
(11.10)
11 Ouvertures
Quelques questions techniques restent en suspens, mais l’essentiel dans ce
domaine semble être réglé.
11.2.2 D’autres systèmes : périodiques, presque, ou pas du tout
Dans la même veine qu’on l’a fait pour les cristaux, on a étudié dans [32] des
modèles pour les polymères linéiques (des cristaux mono-dimensionnels) ou
des films fins (des cristaux bi-dimensionnels). On a aussi étudié dans [64] des
systèmes, mono, bi ou tridimensionnels présentant des géométries non périodiques, mais proches de l’être, comme des géométries dites quasi ou presque
périodiques (lesquelles sont effectivement observées, dans des composés appelés quasi-cristaux, et synthétisées dans la pratique pour certaines applications
particulières).
On a même plus récemment montré dans [35] la validité des raisonnements de
limite thermodynamique pour des géométries très générales, pourvu qu’elles
exhibent des propriétés “du type de la périodicité ou de ses extensions”, mais
moins contraignantes.
L’ensemble des cas étudiés peut se résumer dans l’assertion suivante. Fixonsnous un “bon” modèle moléculaire, comme ceux des Chapitres 2, 3, 4 et 5.
Pour simplifier, nous supposerons qu’il s’agit du problème de minimisation
suivant
inf
I R 3
ρ
5/3 +
I R 3
|∇φ|
2 , −∆φ =
N
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions sur IR
3 , ρ ≥ 0,
I R 3
ρ = N
.
(11.8)
Ce problème est en fait une réécriture du modèle de Thomas-Fermi, à quelques
détails mathématiques près dans lesquels nous ne voulons pas rentrer ici (mais
qui bien sûr peuvent être consultés dans les références bibliographiques). Alors
si les noyaux (ici pris de charge unité) placés en les ¯
x k tendent vers une
structure périodique quand N tend vers l’infini, le modèle obtenu est
inf
Γ
ρ
5/3 +
Γ
|∇φ|
2 , −∆φ =
∞
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions Γ − périodiques, ρ ≥ 0,
Γ
ρ = 1
(11.9)
où Γ désigne le domaine de périodicité de cette structure. De même si la
structure limite n’est pas périodique mais permet malgré tout de définir des
moyennes de fonctions sur l’espace, le problème de minimisation obtenu sera
inf
ρ
5/3
+ |∇φ|
2
, −∆φ =
∞
k=1
δ ·−¯ x k − ρ,
φ et ρ fonctions ayant une moyenne , ρ ≥ 0, ρ = 1
(11.10)