11.2 Modèles pour la phase solide
303
repose sur la relation de récurrence
T j+1 (F
) = 2F
T j (F
) − T j−1 (F
), T 0 (F
) = I N b , T 1 (F
) = F
,
qui permet de calculer indépendamment (et donc en parallèle) chacune des
colonnes de la matrice.
Une autre méthode d’approximation que nous ne détaillerons pas ici (voir la
référence [175]), est basée sur le fait que si x 0 ∈] − 1/2, 3/2[, la suite (x k ) k∈I N
définie par x k+1 = f (x k ) avec f (x) = 3x
2
− 2x
3 , converge vers H(1/2 − x 0 ).
11.2 Modèles pour la phase solide
11.2.1 Les modèles pour la structure électronique des cristaux
Nous l’avons dit au Chapitre 10, les questions d’unicité de solutions d’EDP (ou
de systèmes d’EDP) que nous avons regardées, sont associées à des questions
de limite thermodynamique pour les cristaux. Il s’agit essentiellement de comprendre comment construire des modèles de la phase solide cristalline, ou de
justifier des modèles existants. Une stratégie consiste à se livrer à l’expérience
de pensée suivante : on remplit peu à peu les sites d’un réseau périodique par
des noyaux, tous identiques, et on associe à chaque nombre de noyaux fixés un
nombre d’électrons permettant d’obtenir à chaque étape un système neutre.
La question est alors : quelle est la structure électronique de l’ensemble ainsi
constitué, à savoir une grosse molécule tendant asymptotiquement vers un
cristal périodique ?
De nombreuses études, [63, 64, 65, 67, 66, 68], citées à la fin du Chapitre 10,
ont démontré que les modèles usuellement employés par les physiciens du
solide pour le calcul des structures électroniques étaient bien, en un sens plus
ou moins fort, la limite des mêmes modèles valables sur le cas moléculaire,
quand la molécule “tend vers le cristal infini”. Typiquement, les résultats sont
les suivants (avec quelques nuances suivant les modèles, certains modèles étant
plus mal connus que d’autres sur ces points) :
– quand le nombre de particules N tend vers l’infini, l’énergie du système
moléculaire, divisée par sa taille (c’est-à-dire par N ), tend vers l’énergie
du système cristallin périodique (i.e. une énergie de la forme (11.9)) ; on
retrouve la propriété d’extensivité de l’énergie ;
– dans le même temps, la densité électronique moléculaire tend vers une
densité périodique ;
– le problème définissant l’énergie du système cristallin périodique admet
un minimiseur ;
– la densité périodique obtenue à la limite N −→ +∞ correspond bien à la
densité du minimiseur du problème périodique, ce qu’on peut exprimer
de manière concise en disant que la limite des minimiseurs est égale au
minimiseur du problème de minimisation limite.
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repose sur la relation de récurrence
T j+1 (F
) = 2F
T j (F
) − T j−1 (F
), T 0 (F
) = I N b , T 1 (F
) = F
,
qui permet de calculer indépendamment (et donc en parallèle) chacune des
colonnes de la matrice.
Une autre méthode d’approximation que nous ne détaillerons pas ici (voir la
référence [175]), est basée sur le fait que si x 0 ∈] − 1/2, 3/2[, la suite (x k ) k∈I N
définie par x k+1 = f (x k ) avec f (x) = 3x
2
− 2x
3 , converge vers H(1/2 − x 0 ).
11.2 Modèles pour la phase solide
11.2.1 Les modèles pour la structure électronique des cristaux
Nous l’avons dit au Chapitre 10, les questions d’unicité de solutions d’EDP (ou
de systèmes d’EDP) que nous avons regardées, sont associées à des questions
de limite thermodynamique pour les cristaux. Il s’agit essentiellement de comprendre comment construire des modèles de la phase solide cristalline, ou de
justifier des modèles existants. Une stratégie consiste à se livrer à l’expérience
de pensée suivante : on remplit peu à peu les sites d’un réseau périodique par
des noyaux, tous identiques, et on associe à chaque nombre de noyaux fixés un
nombre d’électrons permettant d’obtenir à chaque étape un système neutre.
La question est alors : quelle est la structure électronique de l’ensemble ainsi
constitué, à savoir une grosse molécule tendant asymptotiquement vers un
cristal périodique ?
De nombreuses études, [63, 64, 65, 67, 66, 68], citées à la fin du Chapitre 10,
ont démontré que les modèles usuellement employés par les physiciens du
solide pour le calcul des structures électroniques étaient bien, en un sens plus
ou moins fort, la limite des mêmes modèles valables sur le cas moléculaire,
quand la molécule “tend vers le cristal infini”. Typiquement, les résultats sont
les suivants (avec quelques nuances suivant les modèles, certains modèles étant
plus mal connus que d’autres sur ces points) :
– quand le nombre de particules N tend vers l’infini, l’énergie du système
moléculaire, divisée par sa taille (c’est-à-dire par N ), tend vers l’énergie
du système cristallin périodique (i.e. une énergie de la forme (11.9)) ; on
retrouve la propriété d’extensivité de l’énergie ;
– dans le même temps, la densité électronique moléculaire tend vers une
densité périodique ;
– le problème définissant l’énergie du système cristallin périodique admet
un minimiseur ;
– la densité périodique obtenue à la limite N −→ +∞ correspond bien à la
densité du minimiseur du problème périodique, ce qu’on peut exprimer
de manière concise en disant que la limite des minimiseurs est égale au
minimiseur du problème de minimisation limite.