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11 Ouvertures
11.1.2 Méthodes d’approximation
Les méthodes d’approximation consistent à écrire la solution D de (11.1) sous
la forme
D = H(µ − F )
si S = I N , ou
D = S
−1/2
H(µ − S
−1/2 F S
−1/2 )S
−1/2 = H(µ − S
−1 F )S
−1
(11.7)
dans le cas général, et à utiliser une approximation standard de la fonction de
Heaviside H pour calculer D de façon approchée. Comme ci-dessus, µ désigne
le niveau de Fermi, qui est une inconnue du problème.
Une première voie est d’utiliser une approximation polynômiale de H de type
Chebyshev. Cela donne lieu à la méthode FOE (Fermi Operator Expansion
[95]), que nous décrivons maintenant en supposant S = I N b . Supposons que
l’on dispose d’une borne inférieure min et d’une borne supérieure max du
spectre de F , estimations qu’on peut calculer par des méthodes itératives de
type Lanczos [79]. Considérons la matrice
F
= αF + β avec α =
1
max( max − µ, µ − min )
, et β = −αµ.
Les coefficients α et β ont été choisis de telle sorte que les vecteurs propres de
F correspondant aux valeurs propres de F appartenant à l’intervalle [−∞, µ[
(resp. ]µ, +∞[) soient des vecteurs propres de F
associés aux valeurs propres
de F
appartenant à l’intervalle [−1, 0[ (resp. ]0, 1]). Les valeurs propres de F
sont alors toutes dans l’intervalle [−1, 1], et on vérifie facilement que
D = H(−F
).
Notons T j le j-ième polynôme de Chebyshev et par (c j ) 0≤j≤+∞ les coefficients de Chebyshev de la fonction H(−x) sur l’intervalle [−1, 1] (voir par
exemple [26]). On a
H(−x) =
+∞
j=0
c j T j (x)
et donc
D =
+∞
j=0
c j T j (F
).
La méthode FOE consiste à tronquer l’expression ci-dessus à un certain
ordre k. Le calcul effectif de l’expression
D k =
k
j=0
c j T j (F
)