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10 Un cas périodique
Face à une question d’unicité, on pourra toujours essayer d’abord de telles
techniques. Elles fournissent déjà une “boite à outils” qui permet de s’en sortir dans beaucoup de cas. Si elles échouent toutes, il restera à faire preuve
d’imagination...
10.7 Pour en savoir plus
Commençons par mentionner que les deux meilleures références pour tout
ce qui est principe du maximum et résultats assimilés (différentes formes de
l’inégalité de Harnack, ...) sont, dans l’ordre croissant de difficulté de lecture
– M.H. Protter and H.F. Weinberger, Maximum Principles in Differential
Equations, Springer,
– D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of
second order, Springer.
Les résultats d’unicité pour les EDP non linéaires sont nombreux, et il est
clairement hors d’atteinte de les citer tous. Nous mentionnons seulement les
études dont sont extraits les raisonnements que nous avons détaillés ici sous
des hypothèses simplificatrices. La preuve présentée à la section 10.3 et son
extension au cas où le second membre m de (10.15) est L
1
loc (IR
N ) provient de
– H. Brézis, Semilinear equations in IR
N without condition at infinity,
Appl. Math. Optim. 12 (1984) 271-282,
dont le titre est assez explicite. Une étude essentielle avait précédé cet article
– Ph. Bénilan, H. Brézis and M.G. Crandall, A semilinear equation in
L
1 (IR
N ), Ann. Scuo. Norm. Pisa 2 (1975) 523-555,
dans laquelle est traité le cas où m ∈ L
1 (IR
N ) et u ∈ L
p (IR
N ) dans (10.15).
Les preuves de la section 10.4 sont reliées à des idées déjà exposées dans
– J-F. Léon, Existence and uniqueness of positive solutions for semi-linear
elliptic equations on unbounded domains, Comm. Part. Diff. Equ. 13
(1988) 1223-1234,
– J-F. Léon, Existence et unicité de la solution positive de l’équation TFW
sans répulsion électronique, Math. Mod. and Num. Anal. 21 (1987) 641654,
concernant les équations de type (10.26) dans des cas où le potentiel V n’est
pas périodique, par exemple V = −
1
|x|
. Au passage on s’est appuyé sur des
techniques de comparaison avec des solutions explosives au bord qu’on trouvera dans
– L. Véron, Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the
boundary, J. Anal. Math. 59 (1992) 231-250.
Pour un potentiel V périodique, beaucoup plus général que continu, l’étude
complète est présentée dans
– I. Catto, C. Le Bris and P-L. Lions, Mathematical Theory of Thermodynamic Limits : Thomas-Fermi type models, Oxford Mathematical
Monographs, Oxford University Press 1998,
10 Un cas périodique
Face à une question d’unicité, on pourra toujours essayer d’abord de telles
techniques. Elles fournissent déjà une “boite à outils” qui permet de s’en sortir dans beaucoup de cas. Si elles échouent toutes, il restera à faire preuve
d’imagination...
10.7 Pour en savoir plus
Commençons par mentionner que les deux meilleures références pour tout
ce qui est principe du maximum et résultats assimilés (différentes formes de
l’inégalité de Harnack, ...) sont, dans l’ordre croissant de difficulté de lecture
– M.H. Protter and H.F. Weinberger, Maximum Principles in Differential
Equations, Springer,
– D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of
second order, Springer.
Les résultats d’unicité pour les EDP non linéaires sont nombreux, et il est
clairement hors d’atteinte de les citer tous. Nous mentionnons seulement les
études dont sont extraits les raisonnements que nous avons détaillés ici sous
des hypothèses simplificatrices. La preuve présentée à la section 10.3 et son
extension au cas où le second membre m de (10.15) est L
1
loc (IR
N ) provient de
– H. Brézis, Semilinear equations in IR
N without condition at infinity,
Appl. Math. Optim. 12 (1984) 271-282,
dont le titre est assez explicite. Une étude essentielle avait précédé cet article
– Ph. Bénilan, H. Brézis and M.G. Crandall, A semilinear equation in
L
1 (IR
N ), Ann. Scuo. Norm. Pisa 2 (1975) 523-555,
dans laquelle est traité le cas où m ∈ L
1 (IR
N ) et u ∈ L
p (IR
N ) dans (10.15).
Les preuves de la section 10.4 sont reliées à des idées déjà exposées dans
– J-F. Léon, Existence and uniqueness of positive solutions for semi-linear
elliptic equations on unbounded domains, Comm. Part. Diff. Equ. 13
(1988) 1223-1234,
– J-F. Léon, Existence et unicité de la solution positive de l’équation TFW
sans répulsion électronique, Math. Mod. and Num. Anal. 21 (1987) 641654,
concernant les équations de type (10.26) dans des cas où le potentiel V n’est
pas périodique, par exemple V = −
1
|x|
. Au passage on s’est appuyé sur des
techniques de comparaison avec des solutions explosives au bord qu’on trouvera dans
– L. Véron, Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the
boundary, J. Anal. Math. 59 (1992) 231-250.
Pour un potentiel V périodique, beaucoup plus général que continu, l’étude
complète est présentée dans
– I. Catto, C. Le Bris and P-L. Lions, Mathematical Theory of Thermodynamic Limits : Thomas-Fermi type models, Oxford Mathematical
Monographs, Oxford University Press 1998,