10.6 Résumé
295
Comme
|∇ξ ε |
2
≤ Cε
2 ξ
2
ε
= Cε
2
1
(1 + ε 2 |x| 2 ) m
≤ C
ε
2−2m
(1 + |x| 2 ) m
= Cε
2−2m ξ
2 ,
(10.77)
pour ε ≤ 1, on obtient pour tout rayon R,
1
(1 + ε 2 R 2 ) m
|x|≤R
w
2
≤
|x|≤R
w
2 ξ
2
ε ≤ Cε
2−2m
I R 3
(w
2 +
1
2
(φ − ψ)
2 )ξ
2 .
En faisant alors tendre ε vers 0 et en utilisant (10.74), nous obtenons w = 0
sur {|x| ≤ R}, pour tout R, et donc w = 0 sur IR
3 tout entier. Finalement,
u = v. En retournant à (10.47) on en déduit que φ = ψ puisque u = v > 0.
C’est la fin de la preuve.
10.6 Résumé
Ce chapitre a été entièrement dévolu à la question de l’unicité des solutions
pour une gamme d’EDP non linéaires elliptiques. On a commencé par le cas le
plus simple d’une EDP surlinéaire posée sur un ouvert borné avec condition au
bord nulle et second membre fixé. Puis on est passé au même problème cette
fois posé sur l’espace tout entier. Ensuite, on a regardé un problème d’unicité
pour une équation non linéaire homogène (c’est-à-dire à second membre nul ; il
s’agit en quelque sorte d’un problème aux valeurs propres non linéaire). Enfin,
on a abordé le cas d’un système d’équations, et non plus d’une seule équation.
Les trois derniers problèmes analysés sont reliés à des modèles simplifiés de
cristaux.
Les techniques que nous avons employées, essentiellement basées sur le principe du maximum, sous des formes plus ou moins sophistiquées, s’appliquent
en fait à beaucoup d’autres cas. On retiendra de ce chapitre que montrer
l’unicité d’une solution n’est pas une chose facile, surtout quand on ne se
place pas dans l’espace d’énergie naturellement associé à l’EDP (c’est-à-dire
l’espace fonctionnel qui donne un sens au problème variationnel associé).
Cependant, une certaine stratégie générale d’attaque de ce problème d’unicité
existe : comparer des solutions entre elles, construire des solutions particulières, comparer avec des solutions explicites de problèmes voisins,... Ce qui
fait fonctionner de telles techniques dans notre contexte, c’est essentiellement
que quelque part dans le problème est cachée de la convexité (en réalité la
convexité de la fonctionnelle d’énergie naturellement associée - ainsi on a très
souvent dans les pages qui précèdent utilisé la convexité de t → t
7/3 ).
295
Comme
|∇ξ ε |
2
≤ Cε
2 ξ
2
ε
= Cε
2
1
(1 + ε 2 |x| 2 ) m
≤ C
ε
2−2m
(1 + |x| 2 ) m
= Cε
2−2m ξ
2 ,
(10.77)
pour ε ≤ 1, on obtient pour tout rayon R,
1
(1 + ε 2 R 2 ) m
|x|≤R
w
2
≤
|x|≤R
w
2 ξ
2
ε ≤ Cε
2−2m
I R 3
(w
2 +
1
2
(φ − ψ)
2 )ξ
2 .
En faisant alors tendre ε vers 0 et en utilisant (10.74), nous obtenons w = 0
sur {|x| ≤ R}, pour tout R, et donc w = 0 sur IR
3 tout entier. Finalement,
u = v. En retournant à (10.47) on en déduit que φ = ψ puisque u = v > 0.
C’est la fin de la preuve.
10.6 Résumé
Ce chapitre a été entièrement dévolu à la question de l’unicité des solutions
pour une gamme d’EDP non linéaires elliptiques. On a commencé par le cas le
plus simple d’une EDP surlinéaire posée sur un ouvert borné avec condition au
bord nulle et second membre fixé. Puis on est passé au même problème cette
fois posé sur l’espace tout entier. Ensuite, on a regardé un problème d’unicité
pour une équation non linéaire homogène (c’est-à-dire à second membre nul ; il
s’agit en quelque sorte d’un problème aux valeurs propres non linéaire). Enfin,
on a abordé le cas d’un système d’équations, et non plus d’une seule équation.
Les trois derniers problèmes analysés sont reliés à des modèles simplifiés de
cristaux.
Les techniques que nous avons employées, essentiellement basées sur le principe du maximum, sous des formes plus ou moins sophistiquées, s’appliquent
en fait à beaucoup d’autres cas. On retiendra de ce chapitre que montrer
l’unicité d’une solution n’est pas une chose facile, surtout quand on ne se
place pas dans l’espace d’énergie naturellement associé à l’EDP (c’est-à-dire
l’espace fonctionnel qui donne un sens au problème variationnel associé).
Cependant, une certaine stratégie générale d’attaque de ce problème d’unicité
existe : comparer des solutions entre elles, construire des solutions particulières, comparer avec des solutions explicites de problèmes voisins,... Ce qui
fait fonctionner de telles techniques dans notre contexte, c’est essentiellement
que quelque part dans le problème est cachée de la convexité (en réalité la
convexité de la fonctionnelle d’énergie naturellement associée - ainsi on a très
souvent dans les pages qui précèdent utilisé la convexité de t → t
7/3 ).