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10 Un cas périodique
I R 3
|∇(−∆w)|
2 ξ
2 < ∞,
d’où, en revenant à (10.70),
I R 3
|∆w|
2 ξ
2 < ∞.
(10.71)
Il s’agit de bien noter que c’est la petite manipulation faite sur l’opérateur
Laplacien dans (10.69) qui nous a permis d’obtenir (10.71). L’information
(10.71) étant stockée, nous revenons maintenant à (10.65) que nous écrivons
cette fois de la façon suivante
φ − ψ = 2
1
u + v
∆w − 2
u
7/3
− v
7/3
u + v
+
φ + ψ
u + v
w.
(10.72)
Par les mêmes arguments que ci-dessus et en utilisant (10.71) pour traiter le
premier terme du membre de droite, on voit que (10.72) implique
I R 3
|φ − ψ|
2 ξ
2 < ∞.
(10.73)
Ce que nous avons donc obtenu à ce stade du raisonnement, c’est que pour ξ
donné par (10.59), on a
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
I R 3
w
2 ξ
2 < ∞,
I R 3
|φ − ψ|
2 ξ
2 < ∞,
(10.74)
avec aussi (10.57) qui donne en particulier
ν
I R 3
w
2 ξ
2
≤
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 +
1
2
I R 3
(φ − ψ)
2
|∇ξ|
2 .
(10.75)
Troisième étape
Remplaçons maintenant dans le raisonnement ci-dessus ξ par ξ ε (x) = ξ(εx).
Tout ce que nous avons fait avec ξ est encore valable avec ξ ε et nous obtenons
donc l’inégalité analogue à (10.75) qui donc s’écrit maintenant
ν
I R 3
w
2 ξ
2
ε ≤
I R 3
w
2
|∇ξ ε |
2 +
1
2
I R 3
(φ − ψ)
2
|∇ξ ε |
2 .
(10.76)