10.5 L’unicité pour un système d’équations
293
Par conséquent,
I R 3
∇
−∆w
u + v
2
ξ
2 < ∞.
On écrit ensuite
I R 3
1
u + v
|∇(−∆w)| − |∆w|
∇
1
u + v
2
ξ
2
≤
I R 3
∇
−∆w
u + v
2
ξ
2
d’où, puisque u et v sont minorées sur IR
3 ,
I R 3
|∇(∆w)| − |∆w|
2
∇(u + v)
u + v
2
ξ
2
≤ C,
(10.66)
où C désigne désormais une constante positive. On développe ensuite le
membre de gauche de (10.66) et on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz et
(10.66) pour obtenir
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
≤ C +
I R 3
|∆w|
2
∇(u + v)
u + v
2
ξ
2
1/2
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
1/2
.
En remarquant que ∇u et ∇v sont L
∞ et en utilisant la minoration de u et
v, on en déduit que
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
≤ C + C
I R 3
|∆w|
2 ξ
2
1/2
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
1/2
.
(10.67)
D’autre part, en intégrant par parties et en utilisant l’inégalité de CauchySchwartz une fois de plus, on peut écrire
I R 3
|∆w|
2 ξ
2 = −
I R 3
∇w · ∇(∆w ξ
2 )
(10.68)
= −
I R 3
∇w · ∇(∆w) ξ
2 +
I R 3
∆w ξ ∇w · ∇ξ
≤
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
1/2
I R 3
|∇w|
2 ξ
2
1/2
+
I R 3
|∆w|
2 ξ
2
1/2
I R 3
w
2
|∇ξ|
2
1/2
. (10.69)
En regroupant (10.64), (10.62) et (10.60), nous obtenons
I R 3
|∆w|
2 ξ
2
≤ C + C
I R 3
|∇(∆w)|
2 ξ
2
1/2
.
(10.70)
En comparant (10.67) et (10.70),