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10 Un cas périodique
I R 3
|∇(wξ)|
2 < ∞.
Il s’ensuit que
I R 3
|∇w|
2 ξ
2 < ∞.
(10.64)
Revenons maintenant à (10.47) et utilisons (10.50) :
−∆w =
1
2
(φ − ψ)(u + v) +
1
2
(φ + ψ)(u − v) − (u
7/3
− v
7/3 ),
d’où nous déduisons
−∆w
u + v
=
1
2
(φ − ψ) +
1
2
φ + ψ
u + v
w −
u
7/3
− v
7/3
u + v
.
(10.65)
Chaque terme du membre de droite est dans l’espace
X =
f ∈ L
1
loc (IR
3 ),
I R 3
|∇f |
2 ξ
2 < ∞
.
Pour le premier, il suffit d’utiliser (10.63). Pour les deux autres, on procède
comme suit. On commence par noter que u et v sont L
∞ . De plus, par hypothèse φ, ψ, et donc à cause de l’équation ∇φ et ∇ψ sont aussi L
∞ . En particulier, cela implique avec (10.46) que ∆u et ∆v sont L
∞ , donc, par régularité
elliptique, u et v sont dans W
2,p pour tout p, ce qui entraîne que ∇u et ∇v
sont aussi L
∞ . On écrit alors
∇
φ + ψ
u + v
w
=
∇(φ + ψ)
u + v
w −
(φ + ψ)(∇u + ∇v)
(u + v) 2
w +
φ + ψ
u + v
∇w.
En utilisant que u et v sont minorées par une constante strictement positive
et que φ, ψ, ∇u, ∇v, ∇φ, ∇ψ sont tous L
∞ , on voit que cette expression est
de la forme aw + b∇w où a ∈ (L
∞ )
3 et b ∈ L
∞ . De là, à partir de (10.62) et
(10.64), on voit donc que le second terme de (10.65) appartient à l’espace X.
Pour le troisième terme de (10.65), on remarque que
∇
u
7/3
− v
7/3
u + v
=
7
3
u
4/3
− v
4/3
u + v
∇u +
7
3
v
4/3
u + v
∇w −
u
7/3
− v
7/3
(u + v) 2 (∇u + ∇v).
Ensuite, en utilisant
|u
p
− v
p
| ≤ C p
u
p−1 + v
p−1
|w|,
(où C p désigne une constante qui dépend de p ≥ 1 mais pas de u et v) à la
fois pour p =
4
3 et p =
7
3 , on obtient, en raisonnant comme ci-dessus, que le
troisième terme de (10.65) est aussi dans l’espace X.