10.5 L’unicité pour un système d’équations
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1
2
I R 3
|∇(φ − ψ)|
2 ξ
2
≤
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 +
1
4
I R 3
(φ − ψ)
2
|∆(ξ
2 )|.
(10.58)
Si on applique les inégalités (10.57) et (10.58) ci-dessus à une suite de fonctions
(ξ n ) n∈I N de D(IR
3 ) qui converge vers
ξ(x) =
1
(1 + |x| 2 ) m/2 ,
(10.59)
pour un certain exposant m =
1
2 + ε, ε > 0, on obtient les inégalités (10.57)
et (10.58) pour ξ donné par (10.59). De plus, pour le choix (10.59) de ξ, nous
avons
I R 3
w
2
|∇ξ|
2
≤ ≤w
2
L ∞
I R 3
|∇ξ|
2 < ∞,
(10.60)
I R 3
(φ − ψ)
2
|∇ξ|
2
≤ ≤φ − ψ
2
L ∞
I R 3
|∇ξ|
2 < ∞,
(10.61)
et
I R 3
(φ − ψ)
2
|∆(ξ
2 )| ≤ ≤φ − ψ
2
L ∞
I R 3
|∆(ξ
2 )| < ∞.
Donc, on obtient respectivement à partir de (10.57) et (10.58)
I R 3
w
2 ξ
2 < ∞,
(10.62)
et
I R 3
|∇(φ − ψ)|
2 ξ
2 < ∞.
(10.63)
La preuve se continue maintenant comme suit : nous allons montrer que
I R 3
(φ − ψ)
2 ξ
2 < ∞.
En ajoutant cette information à (10.62), nous allons alors appliquer un argument de changement d’échelle à ξ dans (10.57) ce qui montrera que w = 0 à
cause du choix particulier que nous avons fait pour ξ dans (10.59).
Deuxième étape
A cause de (10.60) et (10.61), on déduit d’abord de (10.55) que
(wξ) < ∞,
d’où en explicitant le crochet
I R 3
|∇(wξ)|
2
−
1
2
I R 3
(φ + ψ)w
2 ξ
2 < ∞,
et donc, au vu de (10.62),