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10 Un cas périodique
et remarquons que l’opérateur L est positif ou nul sur un ensemble de fonctions
qui tendent vers 0 assez vite à l’infini. Comme u et v sont des solutions strictement positives de (10.47), on a, par un raisonnement déjà utilisé à section
précédente,
⎧
⎨
⎩
λ 1 (−∆ + u
4/3
− φ, Ω) > 0,
λ 1 (−∆ + v
4/3
− ψ, Ω) > 0,
(10.53)
pour tout ouvert borné Ω de IR
3 , où on a noté λ 1 (H, Ω) la première valeur
propre de H sur Ω avec conditions au bord de Dirichlet. De (10.53) on déduit
alors
λ 1 (L, Ω) ≥ 0.
(10.54)
En regroupant (10.49), (10.50), (10.51), on obtient à partir de (10.48)
(wξ) + ν
I R 3
w
2 ξ
2
≤
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 +
I R 3
φ − ψ
2
(u
2
− v
2 )ξ
2 . (10.55)
Comme −∆(φ − ψ) = −(u
2
− v
2 ), on a
I R 3
φ − ψ
2
(u
2
− v
2 )ξ
2 =
1
2
I R 3
(φ − ψ)∆(φ − ψ)ξ
2
= −
1
2
I R 3
|∇((φ − ψ)ξ)|
2 +
1
2
I R 3
(φ − ψ)
2
|∇ξ|
2 .
Et donc (10.55) donne
(wξ) + ν
I R 3
w
2 ξ
2 +
1
2
I R 3
|∇((φ − ψ)ξ)|
2
≤
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 +
1
2
I R 3
(φ − ψ)
2
|∇ξ|
2 ,
(10.56)
d’où, avec (10.54),
ν
I R 3
w
2 ξ
2 +
1
2
I R 3
|∇(φ−ψ)ξ|
2
≤
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 +
1
2
I R 3
(φ−ψ)
2
|∇ξ|
2 . (10.57)
En utilisant
0 =
I R 3
div ((φ−ψ)
2
∇(ξ
2 )) =
I R 3
(φ−ψ)
2 ∆(ξ
2 )+2
I R 3
(φ−ψ)∇(ξ
2 )·∇(φ−ψ),
la relation (10.57) implique aussi