10.5 L’unicité pour un système d’équations
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où on suppose que u ∈ L
∞ (IR
3 ), φ ∈ L
∞ (IR
3 ) et inf I R 3 u > 0.
Alors une telle solution est unique.
Preuve de la Proposition 10.2.
Considérons deux solutions (u, φ) et (v, ψ) dans (L
∞ (IR
3 ))
2 du système cidessus et notons µ > 0 une constante telle que u ≥ µ et v ≥ µ. On a
⎧
⎨
⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
−∆v + v
7/3
− ψv = 0,
(10.47)
et donc, en notant w = u − v,
−∆w + u
7/3
− v
7/3
− (φu − ψv) = 0.
Il nous faut prouver que w = 0.
Première étape
Soit ξ ∈ D(IR
3 ). En multipliant l’équation par w ξ
2 et en intégrant sur IR
3 , on
obtient
I R 3
−∆w w ξ
2 +
I R 3
u
7/3
− v
7/3
w ξ
2
−
I R 3
(φu − ψv) w ξ
2 = 0. (10.48)
Il s’agit d’abord de remarquer que l’on a d’une part
I R 3
−∆w · wξ
2 =
I R 3
|∇(wξ)|
2
−
I R 3
w
2
|∇ξ|
2 ,
(10.49)
alors que d’autre part,
φu − ψv =
φ + ψ
2
w +
φ − ψ
2
(u + v).
(10.50)
Comme u et v sont minorées par µ > 0, il existe une constante ν > 0 telle que
u
7/3
− v
7/3
(u − v) ≥
1
2
u
4/3 + v
4/3
(u − v)
2 + ν(u − v)
2 ,
c’est-à-dire
u
7/3
− v
7/3
w ≥
1
2
u
4/3 + v
4/3
w
2 + νw
2 .
(10.51)
Notons alors
L = −∆ +
1
2
u
4/3 + v
4/3
−
φ + ψ
2
,
(10.52)