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10 Un cas périodique
Or on sait en vertu de l’étape préliminaire que la solution périodique positive
est unique. Donc la solution maximale est la solution périodique positive.
Réciproquement, la solution périodique positive est donc maximale.
Mais alors, si on regarde maintenant u, et si on la compare avec u(· ± e i ), on
en déduit, comme on l’a fait ci-dessus pour la solution maximale que u est
périodique. Il résulte que u est maximale. Le fait que la solution minimale soit
maximale prouve bien sûr l’unicité de la solution.
Finalement, nous avons donc prouvé le résultat suivant :
Proposition 10.1. Soit c une constante positive et V un potentiel périodique
continu (ou, par généralisation admise ici, dans L
p
loc (IR
3 ), pour un certain
p >
21
8 ). On suppose (ce qui est en fait une condition nécessaire d’existence
de solution) que la première valeur propre de l’opérateur −∆ + V avec des
conditions au bord périodiques est strictement négative. On considère l’équation :
−∆u + V u + cu
7/3 = 0.
Alors il existe une unique solution u ≥ 0, u ≡ 0 dans H
1
loc (IR
3 ). De plus,
u > 0 et u est périodique.
10.5 L’unicité pour un système d’équations
Comme annoncé dans l’introduction de ce chapitre, nous ne donnons pas dans
cette section toute la preuve de l’unicité pour le système d’équations obtenu
pour le modèle périodique de Thomas-Fermi-von Weizsäcker, à savoir
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
u ≥ 0,
−∆φ = m − u
2 .
Nous donnons seulement, dans un cadre régulier, la preuve de l’unicité quand
les solutions (u, φ) sont telles que u est uniformément minorée par une
constante stritement positive sur tout l’espace IR
3 . Une telle propriété est
en fait, sous certaines hypothèses convenables sur la distribution de noyaux
m, une conséquence même du fait que u est solution. Mais nous ne rentrerons
pas dans ce détail, et nous nous contentons donc de montrer la proposition
suivante.
Proposition 10.2. Soit m une fonction continue sur IR
3 (on peut faire beaucoup moins régulier). On considère une solution (u, φ) de
⎧
⎨
⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
−∆φ = m − u
2 ,
(10.46)
10 Un cas périodique
Or on sait en vertu de l’étape préliminaire que la solution périodique positive
est unique. Donc la solution maximale est la solution périodique positive.
Réciproquement, la solution périodique positive est donc maximale.
Mais alors, si on regarde maintenant u, et si on la compare avec u(· ± e i ), on
en déduit, comme on l’a fait ci-dessus pour la solution maximale que u est
périodique. Il résulte que u est maximale. Le fait que la solution minimale soit
maximale prouve bien sûr l’unicité de la solution.
Finalement, nous avons donc prouvé le résultat suivant :
Proposition 10.1. Soit c une constante positive et V un potentiel périodique
continu (ou, par généralisation admise ici, dans L
p
loc (IR
3 ), pour un certain
p >
21
8 ). On suppose (ce qui est en fait une condition nécessaire d’existence
de solution) que la première valeur propre de l’opérateur −∆ + V avec des
conditions au bord périodiques est strictement négative. On considère l’équation :
−∆u + V u + cu
7/3 = 0.
Alors il existe une unique solution u ≥ 0, u ≡ 0 dans H
1
loc (IR
3 ). De plus,
u > 0 et u est périodique.
10.5 L’unicité pour un système d’équations
Comme annoncé dans l’introduction de ce chapitre, nous ne donnons pas dans
cette section toute la preuve de l’unicité pour le système d’équations obtenu
pour le modèle périodique de Thomas-Fermi-von Weizsäcker, à savoir
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
u ≥ 0,
−∆φ = m − u
2 .
Nous donnons seulement, dans un cadre régulier, la preuve de l’unicité quand
les solutions (u, φ) sont telles que u est uniformément minorée par une
constante stritement positive sur tout l’espace IR
3 . Une telle propriété est
en fait, sous certaines hypothèses convenables sur la distribution de noyaux
m, une conséquence même du fait que u est solution. Mais nous ne rentrerons
pas dans ce détail, et nous nous contentons donc de montrer la proposition
suivante.
Proposition 10.2. Soit m une fonction continue sur IR
3 (on peut faire beaucoup moins régulier). On considère une solution (u, φ) de
⎧
⎨
⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
−∆φ = m − u
2 ,
(10.46)