10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
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Par le même raisonnement que celui utilisé juste ci-dessus, on sait que sur
tout ensemble compact K ⊂ IR
3 , il existe une constante µ > 0 telle que, pour
R assez grand vérifiant K ⊂ B R , on ait
u R ≥ µ > 0 dans K.
(10.45)
En effet, si ceci n’est pas vrai, on a l’existence d’une suite telle que
inf
K
u R −→
R→+∞
0
sur un certain compact K, donc
inf
BR
u R −→
R→+∞
0,
et on obtient une contradiction en raisonnant comme ci-dessus.
De plus, puisque (u R ) R>0 est bornée dans L
∞ , (∇u R ) R>0 est bornée dans
L
2
loc . Donc (u R ) R>0 est bornée dans H
1
loc et converge faiblement dans H
1
loc et
fortement dans L
p
loc pour 1 ≤ p < ∞, vers un certain u qui est une solution
sur IR
3 de
−∆u + cu
7/3 + V u = 0,
u ≥ 0.
A cause de (10.45), u > 0, et par suite
u ≥ ν.
Puisque toute solution u vérifie u ≥ u R dans B R pour tout R, on a u ≥ u, et
donc u est la solution minimale non triviale.
10.4.4 Etape 3 : minimale = périodique = maximale
Revenons tout d’abord à la solution maximale ¯
u. Il est facile de voir qu’elle est
nécessairement périodique. En effet, si e i est un vecteur unitaire définissant
le cube de périodicité de V , ¯
u(· + e i ) est solution et donc
¯
u(· + e i ) ≤ ¯
u.
De même, ¯
u(· − e i ) est aussi solution et donc
¯
u(· − e i ) ≤ ¯
u.
Par conséquent,
¯
u(· + e i ) = ¯
u,
c’est-à-dire que ¯
u est périodique.