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10 Un cas périodique
K(0)
|∇u|
2 +
3
5
K(0)
|u|
10/3 +
K(0)
V u
2
= ε
2
K(0)
|∇v|
2 +
3
5
ε
10/3
K(0)
|v|
10/3 + ε
2
K(0)
V v
2 .
Pour ε assez petit, le membre de droite se comporte comme ε
2 λ 1 et est donc
strictement négatif, ce qui entraîne
I per < 0.
Soit maintenant w la fonction périodique minimisant I per , et soit w n,R la
fonction sur le cube K(R) qui est égale à w dans K(R − 1), et que l’on
prolonge de façon telle que la condition au bord w n,R | ∂K(R) = u n soit vérifiée.
Il est facile de voir que
K(R)
|∇w n,R |
2 +
3
5
K(R)
|w n,R |
10/3 +
K(R)
V w
2
n,R = (2R − 1)
3 I per + O(R
2 ).
Donc on peut choisir R assez grand pour que, uniformément en n, on ait
I(n, R) ≤ −1,
ce qui contredit (10.40) et achève le raisonnement par l’absurde. Il existe
donc une constante strictement positive, notée ν dans la suite, qui minore sur
IR
3 toutes les solutions positives de (10.37). Nous allons maintenant pouvoir
construire notre solution minimale non triviale.
Pour R fixé, on définit sur B R le problème de minimisation suivant
I(R) = inf
BR
|∇u|
2 +
3
5
c
BR
|u|
10/3 +
BR
V u
2 ,
u ∈ H
1 (B R ), u| ∂BR = ν
.
(10.44)
La fonctionnelle d’énergie étant convexe strictement, il existe un unique minimiseur positif de (10.44), qu’on note u R , et qui vérifie
−∆u R + V u R + cu
7/3
R = 0,
u R | BR = ν.
Le même principe de comparaison que celui qu’on a appliqué ci-dessus montre
que toute solution u non triviale de
−∆u + V u + cu
7/3 = 0,
u ≥ 0,
vérifie
u ≥ u R
dans B R .