10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
285
I R 3
ϕ∇ϕ · u n ∇u n
≤
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
1/2
I R 3
u
2
n |∇ϕ|
2
1/2
≤ C
sup
K(R+1)
u n
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
1/2
, (10.42)
où C ne dépend pas de n. De (10.41) et (10.42), on déduit que dès que n est
assez grand pour avoir sup
K(R+1)
u n ≤ 1,
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
− 2C
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
1/2
≤
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
− 2C sup
K(R+1)
u n
×
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
1/2
≤
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
+2
I R 3
ϕ∇ϕ · u n ∇u n
=
I R 3
−∆u n u n ϕ
2 .
Comme le membre de droite tend vers 0, il est en particulier borné, par une
constante C
. Donc
ϕ
2
|∇u n |
2
− 2C
ϕ
2
|∇u n |
2
1/2
≤ C
ce qui montre que la suite
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
n∈I N
est bornée, et en reportant
cette information dans (10.42) on obtient que
I R 3
ϕ∇ϕ · u n ∇u n
n∈I N
tend
vers 0. Ensuite, (10.41) implique que
I R 3
ϕ
2
|∇u n |
2
n∈I N
converge aussi
vers 0, ce qui donne
K(R)
|∇u n |
2
−→ 0 quand n tend vers l’infini, R étant
fixé. (10.40) est donc vérifiée.
Définissons maintenant
I per = inf
K(0)
|∇u|
2 +
3
5
K(0)
|u|
10/3 +
K(0)
V u
2 , u ∈ H
1
per (K(0))
.
(10.43)
Cette quantité est strictement négative. En effet, soit λ 1 = λ 1,per (−∆ +
V, K(0)) la première valeur propre avec données au bord périodiques et v
la première fonction propre associée. On pose u = εv et on regarde