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10 Un cas périodique
Soit R ≥ 0 un entier fixé, on introduit K(R) le grand cube centré en 0 et
contenant (2R + 1)
3 cubes de taille unité. On considère sur K(R) le problème
de minimisation suivant :
I(n, R) = inf
K(R)
|∇u|
2 +
3
5
K(R)
|u|
10/3 +
K(R)
V u
2 ,
u ∈ H
1 (K(R)), u| ∂K(R) = u n
.
(10.39)
Comme la fonctionnelle
K(R)
|∇u|
2 +
3
5
K(R)
|u|
10/3 +
K(R)
V u
2
est convexe par rapport à u
2 , toute solution de l’équation d’Euler-Lagrange
associée à (10.39), à savoir
−∆u + V u + c|u|
4/3 u = 0,
u| ∂K(R) = u n ,
est un minimiseur de (10.39) (on peut voir ceci en appliquant le même raisonnement que dans l’Exercice 2.9 au Chapitre 2, ou aussi par le principe du
maximum faible pour les opérateurs coercifs ci-dessus). Comme u n satisfait
les conditions ci-dessus, il minimise donc (10.39). Donc
K(R)
|∇u n |
2 +
3
5
K(R)
|u n |
10/3 +
K(R)
V u
2
n = I(n, R).
Par stricte convexité, c’est même le minimiseur strictement positif de (10.39).
Donc, puisque (u n ) n∈I N converge uniformément vers 0 dans K(R) et est une
suite de solutions de (10.37), on a
I(n, R) −→
n→∞
0.
(10.40)
Pour obtenir (10.40), la seule difficulté est de montrer que
K(R)
|∇u n |
2
converge vers 0. On raisonne comme suit. On choisit ϕ ∈ D(K(R + 1)) telle
que |∇ϕ| ≤ C et ϕ ≡ 1 dans K(R). Alors,
I R 3
(−∆u n )u n ϕ
2 =
I R 3
|∇u n |
2 ϕ
2 + 2
I R 3
ϕ∇ϕ · u n ∇u n .
(10.41)
Le membre de gauche tend vers 0 à cause de (10.37) et (10.38). Le deuxième
terme du membre de droite peut être contrôlé par l’inégalité de CauchySchwarz :