10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
283
−∆w +
7
3
u
4/3
R w + V w ≥ 0.
Comme w ≥ 0 sur ∂B R , on sait par application du Théorème 10.19 que w ≥ 0
dans B R i.e. u R ≥ u R dans B R .
De cette monotonie, nous déduisons que nous pouvons définir la fonction ¯
u,
limite (monotone et localement uniforme) en tout point de IR
3 de u R quand
R −→ +∞, qui vérifie
−∆¯ u + V ¯
u + ¯
u
7/3 = 0.
(10.36)
Par application du même principe du maximum, on peut voir que toute solution u ≥ 0 de (10.26) vérifie donc u ≤ u R dans B R pour tout R. D’où u ≤ ¯
u
par passage à la limite quand R −→ +∞. En d’autres termes, ¯
u est la solution
maximale de (10.36) (il n’y a qu’une solution maximale, c’est évident).
10.4.3 Etape 2 : construction d’une solution minimale
Nous allons maintenant construire une solution minimale (non identiquement
nulle évidemment) de (10.26). Il s’agit d’abord de montrer que toute solution
positive de
−∆u + V u + cu
7/3 = 0,
u ≥ 0,
(10.37)
non identiquement nulle (et donc strictement positive par l’inégalité de Harnack) peut en fait être minorée par une constante positive qui ne dépend pas
ni de l’endroit où on regarde la solution (ce qui est une première marche vers
la périodicité de toute solution), ni de la solution elle-même (ce qui est une
autre marche, cette fois vers l’unicité).
Remarque 10.21 Noter que dans l’étape précédente où on construisait la
solution maximale, on a dû de même établir une majoration uniforme sur les
solutions, c’était l’objet de l’argument qui a amené au Lemme 10.16.
Nous raisonnons par l’absurde et supposons donc qu’il existe une suite de
solutions (u n ) n∈I N de (10.37) telle que
inf
I R 3
u n −→
n→∞
0.
Sans perte de généralité, on peut translater u n si nécessaire et supposer donc
qu’à extraction près (u n (0)) n∈I N tend vers 0. Alors, par l’inégalité de Harnack,
et parce qu’on sait déjà qu’on dispose de bornes uniformes (sur IR
3 et en n)
sur V et les u n , cela entraîne
u n −→
n→∞
0
(10.38)
uniformément sur chaque compact de IR
3 . On rappelle que par souci de simplicité, on a supposé qu’une cellule de périodicité de V est un cube unité.
283
−∆w +
7
3
u
4/3
R w + V w ≥ 0.
Comme w ≥ 0 sur ∂B R , on sait par application du Théorème 10.19 que w ≥ 0
dans B R i.e. u R ≥ u R dans B R .
De cette monotonie, nous déduisons que nous pouvons définir la fonction ¯
u,
limite (monotone et localement uniforme) en tout point de IR
3 de u R quand
R −→ +∞, qui vérifie
−∆¯ u + V ¯
u + ¯
u
7/3 = 0.
(10.36)
Par application du même principe du maximum, on peut voir que toute solution u ≥ 0 de (10.26) vérifie donc u ≤ u R dans B R pour tout R. D’où u ≤ ¯
u
par passage à la limite quand R −→ +∞. En d’autres termes, ¯
u est la solution
maximale de (10.36) (il n’y a qu’une solution maximale, c’est évident).
10.4.3 Etape 2 : construction d’une solution minimale
Nous allons maintenant construire une solution minimale (non identiquement
nulle évidemment) de (10.26). Il s’agit d’abord de montrer que toute solution
positive de
−∆u + V u + cu
7/3 = 0,
u ≥ 0,
(10.37)
non identiquement nulle (et donc strictement positive par l’inégalité de Harnack) peut en fait être minorée par une constante positive qui ne dépend pas
ni de l’endroit où on regarde la solution (ce qui est une première marche vers
la périodicité de toute solution), ni de la solution elle-même (ce qui est une
autre marche, cette fois vers l’unicité).
Remarque 10.21 Noter que dans l’étape précédente où on construisait la
solution maximale, on a dû de même établir une majoration uniforme sur les
solutions, c’était l’objet de l’argument qui a amené au Lemme 10.16.
Nous raisonnons par l’absurde et supposons donc qu’il existe une suite de
solutions (u n ) n∈I N de (10.37) telle que
inf
I R 3
u n −→
n→∞
0.
Sans perte de généralité, on peut translater u n si nécessaire et supposer donc
qu’à extraction près (u n (0)) n∈I N tend vers 0. Alors, par l’inégalité de Harnack,
et parce qu’on sait déjà qu’on dispose de bornes uniformes (sur IR
3 et en n)
sur V et les u n , cela entraîne
u n −→
n→∞
0
(10.38)
uniformément sur chaque compact de IR
3 . On rappelle que par souci de simplicité, on a supposé qu’une cellule de périodicité de V est un cube unité.