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10 Un cas périodique
(puisque inf BR u R,A > 0) et w ≥ 0 sur ∂B R , nous allons voir que l’on peut en
déduire, en appliquant une forme particulière du principe du maximum, que
w ≥ 0 sur B R , i.e. u R,A ≥ u R,B . Le lecteur comprendra facilement qu’il nous
suffit de montrer la propriété générale suivante :
Théorème 10.19 (Principe du maximum faible pour les opérateurs
de Schrödinger coercifs) Soit Ω un domaine borné régulier, et soit W une
fonction continue bornée sur Ω. On suppose que la première valeur propre de
l’opérateur −∆ + W avec donnée au bord de Ω nulle est strictement positive.
Soit u ∈ C
2 ( ¯
Ω) telle que
−∆u + W u ≥ 0,
u ≥ 0 sur ∂Ω.
(10.34)
Alors u ≥ 0 dans Ω.
Remarque 10.20 On retiendra donc que, si la première valeur propre est
strictement positive, tout se passe pour −∆+W comme si on avait le Laplacien
(lequel vérifie bien sûr cette condition de première valeur propre strictement
positive, le lecteur le vérifiera en exercice).
Maintenant que nous savons à la fois que u R,A (x) est majorée indépendamment de x et de A sur toute boule B R avec R
< R, et croissante, à x fixé,
par rapport à A, on peut donc définir
u R (x) = lim
A→∞
u R,A (x),
pour tout x ∈ B R , la limite étant en fait uniforme sur les boules B R avec
R
< R. Clairement, u R vérifie
⎧
⎨
⎩
−∆u R + V u R + u
7/3
R = 0 dans B R ,
u R > 0 dans B R ,
u R | ∂BR = +∞.
(10.35)
et on vient donc de bâtir une solution explosive sur le bord de la boule B R .
Nous allons maintenant voir ce qu’il se passe quand on fait croître le rayon R.
Nous prétendons que les solutions u R sont décroissantes par rapport à R.
Fixons en effet R < R
. En raison de (10.35), la première valeur propre avec
donnée au bord nulle λ 1 (−∆ +
7
3 u
4/3
R + V, B R ) est strictement positive (on a
déjà vu au moins deux fois ce type de raisonnement).
En notant w = u R − u R , on déduit de (10.35) et de la convexité de t → t
7/3
que
10 Un cas périodique
(puisque inf BR u R,A > 0) et w ≥ 0 sur ∂B R , nous allons voir que l’on peut en
déduire, en appliquant une forme particulière du principe du maximum, que
w ≥ 0 sur B R , i.e. u R,A ≥ u R,B . Le lecteur comprendra facilement qu’il nous
suffit de montrer la propriété générale suivante :
Théorème 10.19 (Principe du maximum faible pour les opérateurs
de Schrödinger coercifs) Soit Ω un domaine borné régulier, et soit W une
fonction continue bornée sur Ω. On suppose que la première valeur propre de
l’opérateur −∆ + W avec donnée au bord de Ω nulle est strictement positive.
Soit u ∈ C
2 ( ¯
Ω) telle que
−∆u + W u ≥ 0,
u ≥ 0 sur ∂Ω.
(10.34)
Alors u ≥ 0 dans Ω.
Remarque 10.20 On retiendra donc que, si la première valeur propre est
strictement positive, tout se passe pour −∆+W comme si on avait le Laplacien
(lequel vérifie bien sûr cette condition de première valeur propre strictement
positive, le lecteur le vérifiera en exercice).
Maintenant que nous savons à la fois que u R,A (x) est majorée indépendamment de x et de A sur toute boule B R avec R
< R, et croissante, à x fixé,
par rapport à A, on peut donc définir
u R (x) = lim
A→∞
u R,A (x),
pour tout x ∈ B R , la limite étant en fait uniforme sur les boules B R avec
R
< R. Clairement, u R vérifie
⎧
⎨
⎩
−∆u R + V u R + u
7/3
R = 0 dans B R ,
u R > 0 dans B R ,
u R | ∂BR = +∞.
(10.35)
et on vient donc de bâtir une solution explosive sur le bord de la boule B R .
Nous allons maintenant voir ce qu’il se passe quand on fait croître le rayon R.
Nous prétendons que les solutions u R sont décroissantes par rapport à R.
Fixons en effet R < R
. En raison de (10.35), la première valeur propre avec
donnée au bord nulle λ 1 (−∆ +
7
3 u
4/3
R + V, B R ) est strictement positive (on a
déjà vu au moins deux fois ce type de raisonnement).
En notant w = u R − u R , on déduit de (10.35) et de la convexité de t → t
7/3
que