10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
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Lemme 10.18 (dit Lemme de Hopf) Soit Ω un domaine de IR
3 . On considère l’opérateur −∆ + W pour un potentiel W continu sur ¯
Ω, et une fonction
u de classe C
2 sur Ω, strictement positive dans Ω, et vérifiant
−∆u + W u ≥ 0
dans Ω.
On suppose qu’il existe un point x 0 ∈ ∂Ω tel que les trois conditions suivantes
soient remplies :
1. u(x 0 ) = 0,
2. u est continue en x 0 ,
3. x 0 n’est pas un “angle” de Ω au sens où ce point vérifie la condition dite
de sphère intérieure : il existe ε > 0 et x 1 ∈ Ω tels que B(x 1 , ε) ⊂ Ω et
x 0 ∈ ∂B(x 1 , ε).
Alors, si n désigne la normale sortante au domaine Ω en x 0 ,
∂u
∂n
(x 0 ) < 0.
Dans notre contexte, les hypothèses de ce lemme sont vérifiées et (10.33)
implique donc bien λ 1 ≥ 0.
On compare ensuite u R,A avec u R,B en définissant w = u R,A − u R,B et en
remarquant que par convexité de t → t
7/3 on a
−∆w +
7
3
u
4/3
R,A w + V w ≥ 0.
Comme
λ 1
−∆ +
7
3
cu
4/3
R,A + V, B R
> λ 1
−∆ + cu
4/3
R,A + V, B R
≥ 0
Fig. 10.3. Le lemme de Hopf : pour une fonction “concave” atteignant son minimum
sur le bord, la pente est négative quand on suit la normale sortante au domaine.