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10 Un cas périodique
Lemme 10.16 Il existe une constante C dépendant seulement du potentiel
périodique V telle que toute solution u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de
−∆u + V u + u
7/3
≤ 0,
u > 0
(10.31)
vérifie
L ∞ ≤ C.
(10.32)
Remarque 10.17 L’existence de la borne uniforme L
∞ ci-dessus est une
conséquence du caractère non linéaire de l’EDP considérée. Il est bien évident
par exemple qu’on ne peut pas espérer l’existence d’une telle borne valable pour
toutes les solutions de l’EDP linéaire
−∆u + V u + u = 0,
puisqu’on peut toujours multiplier une solution u ≡ 0 par un coefficient α de
sorte que αu soit aussi solution, et que αu L ∞ soit arbitrairement grand.
Dans le même esprit, on remarquera que notre preuve impose aussi que les
solutions de
−∆u + u
7/3
≤ f,
avec f convenable, soient bornées par une constante universelle. Encore une
fois, ceci est dû à la non linéarité. Par exemple, u(x, y, z) = e
x est une fonction
strictement positive, non bornée sur IR
3 , qui vérifie pourtant −∆u + u = 0.
Revenons à notre famille de fonctions u R,A , et montrons maintenant que les
u R,A sont croissantes par rapport à A, c’est-à-dire que u R,B (x) ≤ u R,A (x) si
B ≤ A.
Fixons A > B et considérons les solutions respectives u R,A et u R,B de (10.30)
sur la même boule B R . Nous commençons par remarquer que λ 1 (−∆ + u
4/3
R,A +
V, B R ), la première valeur propre de −∆ + u
4/3
R,A + V sur B R avec donnée au
bord nulle, est positive ou nulle. En effet, si v est la première fonction propre
de cet opérateur, on a
−∆ + u
4/3
R,A + V
v = λ 1 v,
v > 0, v| ∂BR = 0.
En comparant avec (10.29), on obtient
∂BR
(∇v · n)u R,A = −λ 1
BR
u R,A v.
(10.33)
Nous prétendons que (10.33) implique λ 1 ≥ 0. Pour cela, il suffit clairement
de montrer que ∇v · n < 0 en tout point de ∂B R . Cette propriété, qui se
comprend aisément intuitivement (voir figure 10.3) est une conséquence du
résultat suivant, que nous ne démontrerons pas.
10 Un cas périodique
Lemme 10.16 Il existe une constante C dépendant seulement du potentiel
périodique V telle que toute solution u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de
−∆u + V u + u
7/3
≤ 0,
u > 0
(10.31)
vérifie
L ∞ ≤ C.
(10.32)
Remarque 10.17 L’existence de la borne uniforme L
∞ ci-dessus est une
conséquence du caractère non linéaire de l’EDP considérée. Il est bien évident
par exemple qu’on ne peut pas espérer l’existence d’une telle borne valable pour
toutes les solutions de l’EDP linéaire
−∆u + V u + u = 0,
puisqu’on peut toujours multiplier une solution u ≡ 0 par un coefficient α de
sorte que αu soit aussi solution, et que αu L ∞ soit arbitrairement grand.
Dans le même esprit, on remarquera que notre preuve impose aussi que les
solutions de
−∆u + u
7/3
≤ f,
avec f convenable, soient bornées par une constante universelle. Encore une
fois, ceci est dû à la non linéarité. Par exemple, u(x, y, z) = e
x est une fonction
strictement positive, non bornée sur IR
3 , qui vérifie pourtant −∆u + u = 0.
Revenons à notre famille de fonctions u R,A , et montrons maintenant que les
u R,A sont croissantes par rapport à A, c’est-à-dire que u R,B (x) ≤ u R,A (x) si
B ≤ A.
Fixons A > B et considérons les solutions respectives u R,A et u R,B de (10.30)
sur la même boule B R . Nous commençons par remarquer que λ 1 (−∆ + u
4/3
R,A +
V, B R ), la première valeur propre de −∆ + u
4/3
R,A + V sur B R avec donnée au
bord nulle, est positive ou nulle. En effet, si v est la première fonction propre
de cet opérateur, on a
−∆ + u
4/3
R,A + V
v = λ 1 v,
v > 0, v| ∂BR = 0.
En comparant avec (10.29), on obtient
∂BR
(∇v · n)u R,A = −λ 1
BR
u R,A v.
(10.33)
Nous prétendons que (10.33) implique λ 1 ≥ 0. Pour cela, il suffit clairement
de montrer que ∇v · n < 0 en tout point de ∂B R . Cette propriété, qui se
comprend aisément intuitivement (voir figure 10.3) est une conséquence du
résultat suivant, que nous ne démontrerons pas.