10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
279
connaît une telle sur-solution explosive. Plus précisément, nous introduisons
les deux problèmes aux limites suivants :
−∆u 1 = 2
3/4
|V |
7/4
dans B(0, R),
u 1 = 0 sur ∂B(0, R),
et
−∆u 2 +
1
2
u
7/3
2
≥ 0 dans B(0, R),
u 2 = +∞ sur ∂B(0, R).
Le point clé de l’argument est que u 1 est bornée : c’est évident ici par régularité
elliptique puisque V est continue, mais on comprend bien qu’on pourrait faire
largement à moins (ici intervient en fait le fameux exposant barbare annoncé
plus haut). On notera aussi que, par principe du maximum, u 1 ≥ 0 dans toute
la boule, ce qui sera utile plus bas. D’autre part, on connaît explicitement un
u 2 convenable, c’est la fonction u 2 = 2
3/4 ¯
f où ¯
f désigne la fonction donnée
par la relation (10.22) avec α = 3/2. Cette fonction u 2 est bornée sur tout
boule de rayon R
< R par une constante qui ne dépend que de R
et R.
Remarquons maintenant que
−∆u R,A + u
7/3
R,A = −V u R,A ≤ |V |u R,A ≤
1
2
u
7/3
R,A + 2
3/4
|V |
7/4 .
Donc
−∆u R,A +
1
2
u
7/3
R,A ≤ 2
3/4
|V |
7/4 .
Si on introduit w = u R,A − u 1 − u 2 , on a donc w ≤ 0 sur le bord de la boule
de rayon R, et
−∆w +
1
2
u
7/3
R,A −
1
2
u
7/3
2
≤ 0,
ce qui implique, comme u 1 et u 2 sont positifs,
−∆w +
1
2 1/3 w(u R,A + u 2 )
4/3
≤ 0.
Par un argument standard consistant à introduire l’ensemble des points où w
est positif (ou à considérer la fonction w + et utiliser une variante de l’inégalité
de Harnack), il est facile de voir que cela entraîne w ≤ 0 sur toute la boule,
et donc u R,A ≤ u 1 + u 2 . En vertu des bornes dont on dispose sur u 1 et u 2 , on
voit que cela implique la borne annoncée sur u R,A sur toute boule de rayon
R
< R.
Si l’on y prête attention (prendre R
= R/2 dans la borne qu’on vient de
montrer et en déduire que cette borne est en fait indépendante de R), on
s’aperçoit facilement que ce que l’on vient en fait de prouver par notre méthode
de comparaison avec une sur-solution explosive, c’est la propriété suivante.
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connaît une telle sur-solution explosive. Plus précisément, nous introduisons
les deux problèmes aux limites suivants :
−∆u 1 = 2
3/4
|V |
7/4
dans B(0, R),
u 1 = 0 sur ∂B(0, R),
et
−∆u 2 +
1
2
u
7/3
2
≥ 0 dans B(0, R),
u 2 = +∞ sur ∂B(0, R).
Le point clé de l’argument est que u 1 est bornée : c’est évident ici par régularité
elliptique puisque V est continue, mais on comprend bien qu’on pourrait faire
largement à moins (ici intervient en fait le fameux exposant barbare annoncé
plus haut). On notera aussi que, par principe du maximum, u 1 ≥ 0 dans toute
la boule, ce qui sera utile plus bas. D’autre part, on connaît explicitement un
u 2 convenable, c’est la fonction u 2 = 2
3/4 ¯
f où ¯
f désigne la fonction donnée
par la relation (10.22) avec α = 3/2. Cette fonction u 2 est bornée sur tout
boule de rayon R
< R par une constante qui ne dépend que de R
et R.
Remarquons maintenant que
−∆u R,A + u
7/3
R,A = −V u R,A ≤ |V |u R,A ≤
1
2
u
7/3
R,A + 2
3/4
|V |
7/4 .
Donc
−∆u R,A +
1
2
u
7/3
R,A ≤ 2
3/4
|V |
7/4 .
Si on introduit w = u R,A − u 1 − u 2 , on a donc w ≤ 0 sur le bord de la boule
de rayon R, et
−∆w +
1
2
u
7/3
R,A −
1
2
u
7/3
2
≤ 0,
ce qui implique, comme u 1 et u 2 sont positifs,
−∆w +
1
2 1/3 w(u R,A + u 2 )
4/3
≤ 0.
Par un argument standard consistant à introduire l’ensemble des points où w
est positif (ou à considérer la fonction w + et utiliser une variante de l’inégalité
de Harnack), il est facile de voir que cela entraîne w ≤ 0 sur toute la boule,
et donc u R,A ≤ u 1 + u 2 . En vertu des bornes dont on dispose sur u 1 et u 2 , on
voit que cela implique la borne annoncée sur u R,A sur toute boule de rayon
R
< R.
Si l’on y prête attention (prendre R
= R/2 dans la borne qu’on vient de
montrer et en déduire que cette borne est en fait indépendante de R), on
s’aperçoit facilement que ce que l’on vient en fait de prouver par notre méthode
de comparaison avec une sur-solution explosive, c’est la propriété suivante.