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10 Un cas périodique
Γ
4
3
u
4/3 (v − u)
2
+ ≤ 0,
et donc
v ≤ u.
Remarquons finalement que l’on peut raisonner de même avec la fonction
(v − u) − au lieu de la fonction (v − u) + . On obtient ainsi v = u, et l’unicité
recherchée. Bien sûr, on remarquera que l’on a beaucoup fait usage dans ce
paragraphe du fait qu’on disposait de conditions au bord périodiques sur les
fonctions qu’on manipulait. Il va falloir désormais s’en passer.
10.4.2 Etape 1 : construction d’une solution maximale
Comme première étape de la preuve, montrons l’existence d’une solution maximale de (10.26), c’est-à-dire d’une solution ¯
u de (10.26) telle que toute autre
solution u de (10.26) vérifie nécessairement u ≤ ¯
u sur IR
3 .
Nous commençons par considérer l’équation
−∆u + u
7/3 + V u = 0 dans B R ,
u| ∂BR = A,
(10.29)
sur une boule B R , R étant fixé pour le moment et A désignant une (grande)
constante destinée à tendre vers l’infini ultérieurement.
Il est facile de voir qu’il existe une solution u R,A de (10.29). En effet, si on
définit le problème de minimisation
I(A, R) = inf
BR
|∇u|
2 +
3
5
BR
|u|
10/3 +
BR
V u
2 ,
u ∈ H
1 (B R ), u| ∂BR = A
(10.30)
alors on peut par les mêmes techniques qu’au Chapitre 2 montrer l’existence
d’un minimum pour (10.30). On peut bien sûr supposer que ce minimum,
qu’on note u R,A , est positif ou nul, et donc positif strictement par l’inégalité
de Harnack. Il s’agit donc d’une solution strictement positive de (10.29).
Bien sûr, on le sait déjà, on peut montrer par régularité elliptique que u R,A
est continue, donc bornée sur B R , mais ce que nous allons voir maintenant,
c’est que, à R fixé, alors pour tout R
< R, u R,A peut être majorée dans B R
indépendamment de A. Pour montrer cela, nous allons employer la technique
de comparaison avec une sur-solution explosive que l’on a introduite à la
section 10.3. Comme on ne sait pas construire explicitement une sur-solution
explosive de (10.29) (en fait on comprendra plus loin que ce que nous sommes
en train de faire c’est précisément d’en construire une à la main, voir (10.35)),
on va couper la difficulté en deux et se ramener à une EDP pour laquelle on
10 Un cas périodique
Γ
4
3
u
4/3 (v − u)
2
+ ≤ 0,
et donc
v ≤ u.
Remarquons finalement que l’on peut raisonner de même avec la fonction
(v − u) − au lieu de la fonction (v − u) + . On obtient ainsi v = u, et l’unicité
recherchée. Bien sûr, on remarquera que l’on a beaucoup fait usage dans ce
paragraphe du fait qu’on disposait de conditions au bord périodiques sur les
fonctions qu’on manipulait. Il va falloir désormais s’en passer.
10.4.2 Etape 1 : construction d’une solution maximale
Comme première étape de la preuve, montrons l’existence d’une solution maximale de (10.26), c’est-à-dire d’une solution ¯
u de (10.26) telle que toute autre
solution u de (10.26) vérifie nécessairement u ≤ ¯
u sur IR
3 .
Nous commençons par considérer l’équation
−∆u + u
7/3 + V u = 0 dans B R ,
u| ∂BR = A,
(10.29)
sur une boule B R , R étant fixé pour le moment et A désignant une (grande)
constante destinée à tendre vers l’infini ultérieurement.
Il est facile de voir qu’il existe une solution u R,A de (10.29). En effet, si on
définit le problème de minimisation
I(A, R) = inf
BR
|∇u|
2 +
3
5
BR
|u|
10/3 +
BR
V u
2 ,
u ∈ H
1 (B R ), u| ∂BR = A
(10.30)
alors on peut par les mêmes techniques qu’au Chapitre 2 montrer l’existence
d’un minimum pour (10.30). On peut bien sûr supposer que ce minimum,
qu’on note u R,A , est positif ou nul, et donc positif strictement par l’inégalité
de Harnack. Il s’agit donc d’une solution strictement positive de (10.29).
Bien sûr, on le sait déjà, on peut montrer par régularité elliptique que u R,A
est continue, donc bornée sur B R , mais ce que nous allons voir maintenant,
c’est que, à R fixé, alors pour tout R
< R, u R,A peut être majorée dans B R
indépendamment de A. Pour montrer cela, nous allons employer la technique
de comparaison avec une sur-solution explosive que l’on a introduite à la
section 10.3. Comme on ne sait pas construire explicitement une sur-solution
explosive de (10.29) (en fait on comprendra plus loin que ce que nous sommes
en train de faire c’est précisément d’en construire une à la main, voir (10.35)),
on va couper la difficulté en deux et se ramener à une EDP pour laquelle on