10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
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au moins au sens des distributions sur IR
3 et donc
Γ
(−∆u 1 + V u 1 + u
4/3 u 1 )u = λ 1
Γ
u 1 u.
Mais, par ailleurs,
Γ
(−∆u 1 +V u 1 +u
4/3 u 1 )u =
∂Γ
−
∂u 1
∂n
u+
∂u
∂n
u 1 +
Γ
(−∆u+V u+u
4/3 u)u 1 ,
où les deux termes de bord sont nuls car u et u 1 sont périodiques et solutions
de (10.26) au sens des distributions sur IR
3 : on a u et u 1 de classe H
2
loc (au
moins) par régularité elliptique, donc ∇u et ∇u 1 sont deux fonctions de H
1
per .
Enfin, on utilise (10.26) pour montrer que l’on a donc
λ 1
Γ
uu 1 = 0.
Comme u et u 1 sont strictement positifs, cela entraîne λ 1 = 0.
Remarque 10.15 Comme annoncé plus haut, l’hypothèse (10.27) s’avère
donc a posteriori nécessaire. En effet, supposons qu’on dispose d’une solution non nulle u 0 de notre équation. Le raisonnement ci-dessus montre
λ 1,per (−∆ + V + u
4/3
0 ) = 0, et donc λ 1,per (−∆ + V ) < 0, ce qui est exactement (10.27).
Considérons maintenant une autre solution v > 0, v ∈ H
1
per (Γ ) de (10.26).
Nous allons montrer que v = u.
Par convexité de la fonction t → t
7/3 , on a
v
7/3
− u
7/3
≥
7
3
u
4/3 (v − u),
donc
−∆(v − u) + V (v − u) +
7
3
u
4/3 (v − u) ≤ 0.
Intégrons cette inégalité contre la fonction (v − u) + . Nous obtenons
−
∂Γ
∂(v − u)
∂n
(v − u) + +
Γ
|∇(v − u) + |
2 + V (v − u)
2
+ +
7
3
u
4/3 (v − u)
2
+ ≤ 0.
Comme u et v sont périodiques et solutions de (10.26), le terme de bord est
encore nul, par le même raisonnement que ci-dessus. Nous avons donc :
Γ
|∇(v − u) + |
2 + V (v − u)
2
+ +
7
3
u
4/3 (v − u)
2
+ ≤ 0,
ce qui, compte-tenu du fait que l’on sait λ 1,per (−∆ + V + u
4/3 ) = 0, impose