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10 Un cas périodique
10.4.1 Etape préliminaire : unicité de la solution périodique
L’étape préliminaire consiste à montrer (dans l’esprit de choses qui ont déjà
été faites plus haut) que si on se restreint aux fonctions appartenant à l’espace
d’énergie “naturellement” associé à l’EDP, alors l’unicité recherchée est vraie.
Cette vérification est d’ailleurs un préliminaire nécessaire. Plus précisément,
cette étape consiste à montrer qu’il existe au moins une solution u ≡ 0, u ≥ 0
dans H
1
per (Γ ) de (10.26), et qu’une telle solution est unique au signe près dans
sa classe.
Pour cela, il s’agit de remarquer que le problème de minimisation
inf
Γ
(|∇
√ ρ|
2 + V ρ +
3
5
ρ
5/3 ), ρ ≥ 0,
√
ρ ∈ H
1
per (Γ )
(10.28)
admet un minimum. Ceci est facile une fois qu’on a noté que la fonctionnelle
d’énergie était (strictement) convexe par rapport à ρ. Il suffit alors d’appliquer
les arguments du Chapitre 2 propres à un problème posé sur un borné, le fait
qu’il y ait des conditions périodiques au bord ne changeant rien à de tels
arguments.
Si ρ désigne le minimum de (10.28), u =
√ ρ est une solution dans H
1
per (Γ )
de (10.26). Pour montrer que u ≡ 0, il suffit de montrer que la borne inférieure définie par (10.28) est strictement négative. Ceci s’appuie sur l’hypothèse λ 1,per (−∆ + V ) < 0. En effet, soit u 1 ∈ H
1
per (Γ ) telle que
Γ
u
2
1 = 1 et
Γ
|∇u 1 |
2 + V u
2
1
= λ 1,per (−∆ + V ) < 0. Si on pose u σ = σu 1 , on a clairement
Γ
|∇u σ |
2 + V u
2
σ +
3
5
|u σ |
10/3
= σ
2 λ 1,per (−∆ + V ) +
3
5
σ
10/3
Γ
|u 1 |
10/3 ,
d’où pour σ > 0 assez petit
Γ
|∇u σ |
2 + V u
2
σ +
3
5
|u σ |
10/3
≤
1
2
σ
2 λ 1,per (−∆ + V ) < 0.
On a donc bien u ≡ 0. Par régularité elliptique, on a en particulier u continue,
ce qui fait qu’en appliquant l’inégalité de Harnack sous sa forme la plus basique
(Théorème 2.33), on obtient u > 0 sur IR
3 , et même u ≥ a > 0 sur IR
3 pour
une certaine constante a. Il est clair que u ainsi construit vérifie (10.26). Nous
pouvons de plus affirmer que la première valeur propre λ 1,per (−∆ + V + u
4/3 )
de l’opérateur −∆ + V + u
4/3 avec conditions périodiques sur le bord de la
cellule Γ est certainement nulle. Soit u 1 une fonction propre associée ; u 1 est
une fonction Γ -périodique, qu’on peut choisir continue, strictement positive
sur IR
3 , et qui vérifie
−∆u 1 + V u 1 + u
4/3 u 1 = λ 1 u 1
10 Un cas périodique
10.4.1 Etape préliminaire : unicité de la solution périodique
L’étape préliminaire consiste à montrer (dans l’esprit de choses qui ont déjà
été faites plus haut) que si on se restreint aux fonctions appartenant à l’espace
d’énergie “naturellement” associé à l’EDP, alors l’unicité recherchée est vraie.
Cette vérification est d’ailleurs un préliminaire nécessaire. Plus précisément,
cette étape consiste à montrer qu’il existe au moins une solution u ≡ 0, u ≥ 0
dans H
1
per (Γ ) de (10.26), et qu’une telle solution est unique au signe près dans
sa classe.
Pour cela, il s’agit de remarquer que le problème de minimisation
inf
Γ
(|∇
√ ρ|
2 + V ρ +
3
5
ρ
5/3 ), ρ ≥ 0,
√
ρ ∈ H
1
per (Γ )
(10.28)
admet un minimum. Ceci est facile une fois qu’on a noté que la fonctionnelle
d’énergie était (strictement) convexe par rapport à ρ. Il suffit alors d’appliquer
les arguments du Chapitre 2 propres à un problème posé sur un borné, le fait
qu’il y ait des conditions périodiques au bord ne changeant rien à de tels
arguments.
Si ρ désigne le minimum de (10.28), u =
√ ρ est une solution dans H
1
per (Γ )
de (10.26). Pour montrer que u ≡ 0, il suffit de montrer que la borne inférieure définie par (10.28) est strictement négative. Ceci s’appuie sur l’hypothèse λ 1,per (−∆ + V ) < 0. En effet, soit u 1 ∈ H
1
per (Γ ) telle que
Γ
u
2
1 = 1 et
Γ
|∇u 1 |
2 + V u
2
1
= λ 1,per (−∆ + V ) < 0. Si on pose u σ = σu 1 , on a clairement
Γ
|∇u σ |
2 + V u
2
σ +
3
5
|u σ |
10/3
= σ
2 λ 1,per (−∆ + V ) +
3
5
σ
10/3
Γ
|u 1 |
10/3 ,
d’où pour σ > 0 assez petit
Γ
|∇u σ |
2 + V u
2
σ +
3
5
|u σ |
10/3
≤
1
2
σ
2 λ 1,per (−∆ + V ) < 0.
On a donc bien u ≡ 0. Par régularité elliptique, on a en particulier u continue,
ce qui fait qu’en appliquant l’inégalité de Harnack sous sa forme la plus basique
(Théorème 2.33), on obtient u > 0 sur IR
3 , et même u ≥ a > 0 sur IR
3 pour
une certaine constante a. Il est clair que u ainsi construit vérifie (10.26). Nous
pouvons de plus affirmer que la première valeur propre λ 1,per (−∆ + V + u
4/3 )
de l’opérateur −∆ + V + u
4/3 avec conditions périodiques sur le bord de la
cellule Γ est certainement nulle. Soit u 1 une fonction propre associée ; u 1 est
une fonction Γ -périodique, qu’on peut choisir continue, strictement positive
sur IR
3 , et qui vérifie
−∆u 1 + V u 1 + u
4/3 u 1 = λ 1 u 1