10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
275
Remarque 10.14 La conclusion tient parce qu’on a α > 0 dans la preuve,
ce qui est exactement dire que p > 1 : l’équation est bien non linéaire. Dans le
cas p = 1, on ne peut pas espérer l’unicité, comme le montre l’exemple simple
suivant. On prend p = 1, m = 0, et on a alors comme solutions de (10.15) :
u = 0, u(x, y, z) = e
−x , u(x, y, z) = e
x , u(x, y, z) = e
−y , ... C’est la présence
de la non linéarité qui force l’unicité.
10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
Dans cette section, nous regardons le problème de l’unicité pour l’équation
(10.7). Plus précisément, notre question est la suivante : si V est un potentiel
périodique sur IR
3 , la solution u ≡ 0, u ≥ 0, u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de l’équation
−∆u + V u + u
7/3 = 0
(10.26)
est-elle unique, et donc périodique ?
Pour l’étude que nous allons mener ici, nous allons supposer que le potentiel
V est continu, mais les arguments que nous allons utiliser admettent des généralisations au cas où V est typiquement un potentiel appartenant à L
p
loc (IR
3 )
pour au moins un certain p >
21
8 (cette condition “barbare” est liée au choix
de l’exposant
7
3 dans (10.26)).
De plus, nous allons supposer, ce qui est en fait une condition nécessaire
vérifiée dès qu’il existe une solution u ≥ 0, u ≡ 0 de (10.26) (voir la Remarque 10.15 ci-dessous), que la première valeur propre de l’opérateur −∆ + V
avec des conditions périodiques au bord d’une cellule de périodicité de V
(que nous supposons pour simplifier être un cube de taille unité noté Γ ) est
strictement négative. Autrement dit,
λ 1,per (−∆ + V ) = inf
Γ
|∇u|
2 +
Γ
V u
2 , u ∈ H
1
per (Γ ),
Γ
u
2 = 1
< 0,
(10.27)
où
H
1
per (Γ ) =
u = v| Γ , v ∈ H
1
loc
IR
3
, v Γ-périodique
.
Ceci requiert en particulier que V soit “suffisamment” négatif quelque part
dans Γ . Par exemple, pour tout potentiel V < 0 partout, c’est vrai (en exercice, dire pourquoi, et trouver une condition suffisante moins forte que V < 0
partout pour que ceci reste vrai).
La preuve de l’unicité de la solution u ≡ 0, u ≥ 0, u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de (10.26) se
fait en plusieurs étapes.
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Remarque 10.14 La conclusion tient parce qu’on a α > 0 dans la preuve,
ce qui est exactement dire que p > 1 : l’équation est bien non linéaire. Dans le
cas p = 1, on ne peut pas espérer l’unicité, comme le montre l’exemple simple
suivant. On prend p = 1, m = 0, et on a alors comme solutions de (10.15) :
u = 0, u(x, y, z) = e
−x , u(x, y, z) = e
x , u(x, y, z) = e
−y , ... C’est la présence
de la non linéarité qui force l’unicité.
10.4 Le cas Thomas-Fermi-von Weizsäcker simplifié
Dans cette section, nous regardons le problème de l’unicité pour l’équation
(10.7). Plus précisément, notre question est la suivante : si V est un potentiel
périodique sur IR
3 , la solution u ≡ 0, u ≥ 0, u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de l’équation
−∆u + V u + u
7/3 = 0
(10.26)
est-elle unique, et donc périodique ?
Pour l’étude que nous allons mener ici, nous allons supposer que le potentiel
V est continu, mais les arguments que nous allons utiliser admettent des généralisations au cas où V est typiquement un potentiel appartenant à L
p
loc (IR
3 )
pour au moins un certain p >
21
8 (cette condition “barbare” est liée au choix
de l’exposant
7
3 dans (10.26)).
De plus, nous allons supposer, ce qui est en fait une condition nécessaire
vérifiée dès qu’il existe une solution u ≥ 0, u ≡ 0 de (10.26) (voir la Remarque 10.15 ci-dessous), que la première valeur propre de l’opérateur −∆ + V
avec des conditions périodiques au bord d’une cellule de périodicité de V
(que nous supposons pour simplifier être un cube de taille unité noté Γ ) est
strictement négative. Autrement dit,
λ 1,per (−∆ + V ) = inf
Γ
|∇u|
2 +
Γ
V u
2 , u ∈ H
1
per (Γ ),
Γ
u
2 = 1
< 0,
(10.27)
où
H
1
per (Γ ) =
u = v| Γ , v ∈ H
1
loc
IR
3
, v Γ-périodique
.
Ceci requiert en particulier que V soit “suffisamment” négatif quelque part
dans Γ . Par exemple, pour tout potentiel V < 0 partout, c’est vrai (en exercice, dire pourquoi, et trouver une condition suffisante moins forte que V < 0
partout pour que ceci reste vrai).
La preuve de l’unicité de la solution u ≡ 0, u ≥ 0, u ∈ H
1
loc (IR
3 ) de (10.26) se
fait en plusieurs étapes.