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10 Un cas périodique
ne se prêtent pas à ce genre de technique) montrer que f ≤ ¯
f sur le domaine
et donc majorer f sur un sous-domaine.
La première étape pour suivre cette stratégie est de construire une sur-solution
explosive de l’équation.
Remarque 10.12 Bien sûr, on l’a compris, on parle de sur-solution car c’est
une fonction qui est destinée à être partout au-dessus d’une solution.
Choisissons comme domaine Ω la boule centrée à l’origine et de rayon R fixé.
On introduit (spontanément !)
¯
f (x) =
CR
α
(R 2 − |x| 2 ) α ,
(10.22)
où α =
2
p−1 et C
p−1 = 2α max(3, α + 1). On peut alors vérifier que ¯
f est
construite pour avoir
−∆ ¯
f + ¯
f
p
≥ 0
(10.23)
sur Ω et ¯
f (x) = +∞ si |x| = R. On déduit de (10.21) et (10.23) que
−∆
f − ¯
f
+ |f |
p−1 f − ¯
f
p
≤ 0,
ce qui, compte tenu de la variante (10.17) de l’inégalité de Kato, donne
−∆
f − ¯
f
+
+
|f |
p−1 f − ¯
f
p
sgn +
f − ¯
f
≤ 0,
et donc en particulier
−∆
f − ¯
f
+
≤ 0.
(10.24)
Comme f est continue et ¯
f explose au bord de la boule, on a donc (f − ¯
f ) + = 0
sur le bord de la boule. Par principe du maximum (la fonction f = |w| n’étant
pas a priori C
2 - elle est facilement H
1
loc -, on admet qu’il existe une forme
de ce principe qui s’applique ici, voir la Remarque 10.6), on en déduit f ≤ ¯
f
sur toute la boule. En particulier, comme ¯
f est majorée par une constante de
type C
te R
−α sur la boule de rayon
R
2 , on en déduit f ≤ C
te R
−α sur cette
boule. Mais alors, si maintenant on fait croître le rayon R jusqu’à l’infini, on
obtient f ≤ 0 sur IR
3 puisque α > 0. Ceci conclut la preuve de l’unicité de la
solution de (10.15).
Remarque 10.13 Dans le cas où f n’est pas continue, on ne peut pas utiliser
directement que f est bornée sur la boule. Il faut remarquer que l’on sait aussi
que
−∆f + + (f + )
p
≤ 0,
toujours à cause de la variante de l’inégalité de Kato. On en déduit
−∆f + ≤ 0,
(10.25)
et donc par une version étendue aux fonctions non C
2 du lemme de la valeur
moyenne, f + est majorée. On conclut alors comme ci-dessus.
10 Un cas périodique
ne se prêtent pas à ce genre de technique) montrer que f ≤ ¯
f sur le domaine
et donc majorer f sur un sous-domaine.
La première étape pour suivre cette stratégie est de construire une sur-solution
explosive de l’équation.
Remarque 10.12 Bien sûr, on l’a compris, on parle de sur-solution car c’est
une fonction qui est destinée à être partout au-dessus d’une solution.
Choisissons comme domaine Ω la boule centrée à l’origine et de rayon R fixé.
On introduit (spontanément !)
¯
f (x) =
CR
α
(R 2 − |x| 2 ) α ,
(10.22)
où α =
2
p−1 et C
p−1 = 2α max(3, α + 1). On peut alors vérifier que ¯
f est
construite pour avoir
−∆ ¯
f + ¯
f
p
≥ 0
(10.23)
sur Ω et ¯
f (x) = +∞ si |x| = R. On déduit de (10.21) et (10.23) que
−∆
f − ¯
f
+ |f |
p−1 f − ¯
f
p
≤ 0,
ce qui, compte tenu de la variante (10.17) de l’inégalité de Kato, donne
−∆
f − ¯
f
+
+
|f |
p−1 f − ¯
f
p
sgn +
f − ¯
f
≤ 0,
et donc en particulier
−∆
f − ¯
f
+
≤ 0.
(10.24)
Comme f est continue et ¯
f explose au bord de la boule, on a donc (f − ¯
f ) + = 0
sur le bord de la boule. Par principe du maximum (la fonction f = |w| n’étant
pas a priori C
2 - elle est facilement H
1
loc -, on admet qu’il existe une forme
de ce principe qui s’applique ici, voir la Remarque 10.6), on en déduit f ≤ ¯
f
sur toute la boule. En particulier, comme ¯
f est majorée par une constante de
type C
te R
−α sur la boule de rayon
R
2 , on en déduit f ≤ C
te R
−α sur cette
boule. Mais alors, si maintenant on fait croître le rayon R jusqu’à l’infini, on
obtient f ≤ 0 sur IR
3 puisque α > 0. Ceci conclut la preuve de l’unicité de la
solution de (10.15).
Remarque 10.13 Dans le cas où f n’est pas continue, on ne peut pas utiliser
directement que f est bornée sur la boule. Il faut remarquer que l’on sait aussi
que
−∆f + + (f + )
p
≤ 0,
toujours à cause de la variante de l’inégalité de Kato. On en déduit
−∆f + ≤ 0,
(10.25)
et donc par une version étendue aux fonctions non C
2 du lemme de la valeur
moyenne, f + est majorée. On conclut alors comme ci-dessus.