10.3 Le cas Thomas-Fermi
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dont on admettra que, comme les inégalités (10.17) et (10.19), elle est vraie,
au sens des distributions au moins, non seulement pour des fonctions u de
classe C
2 , mais pour des fonctions bien plus générales, disons pour simplifier
des fonctions u ∈ L
1
loc telles que ∆u ∈ L
1
loc .
Attaquons maintenant la preuve d’unicité de la solution de (10.15). Soient u et
v deux solutions (continues) de cette équation. Nous notons comme ci-dessus
w = u − v. Puisque
−∆w + (|u|
p−1 u − |v|
p−1 v) = 0,
la fonction w est une fonction de classe C
2 au moins et on a, grâce à l’inégalité
de Kato,
−∆|w| +
|u|
p−1 u − |v|
p−1 v
≤ 0.
En remarquant que pour une certaine constante δ > 0, on a identiquement
pour tout (a, b) dans IR × IR
|a|
p−1 a − |b|
p−1 b
≥ δ|a − b|
p ,
on en déduit
−∆|w| + δ|w|
p
≤ 0.
A ce stade du raisonnement, si on savait que u et v, et donc w, tendent vers 0 à
l’infini au moins en un sens faible, on pourrait conclure. L’inéquation ci-dessus
impose en effet −∆|w| ≤ 0 sur IR
3 , d’où, par une application du principe du
maximum, |w| ≤ 0 et donc w = 0. Comme nous n’avons pas de telle “condition
au bord” (c’est tout l’intérêt de ce problème d’unicité), nous devons travailler
un peu plus. Nous allons montrer que cela impose w = 0 en prouvant que si
f continue vérifie
−∆f + |f |
p−1 f ≤ 0,
(10.21)
sur tout IR
3 , alors f ≤ 0 sur IR
3 .
La technique que nous allons employer est standard : il s’agit de la comparaison
avec une sur-solution explosive. Expliquons ce dont il s’agit. Si on veut une
borne par au-dessus de f , on sait l’obtenir par exemple quand f ≤ 0 au bord
du domaine (on a alors f ≤ 0 sur l’intérieur du domaine par principe du
maximum). Quand on ne dispose pas d’informations sur les valeurs de f au
bord, le mieux qu’on puisse faire est de comparer f avec une fonction ¯
f qui
vaut +∞ au bord du domaine (on est donc sûr qu’au bord f ≤ ¯
f ), qui est de
plus une sur-solution de l’équation, i.e. ici une fonction qui vérifie
−∆ ¯
f + | ¯
f |
p−1 ¯
f ≥ 0.
La stratégie est intéressante si on connaît explicitement une fonction convenable ¯
f , ou tout au moins si on sait majorer ¯
f . On va alors pouvoir par
principe du maximum (on expliquera comment ci-dessous, car toutes les EDP
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dont on admettra que, comme les inégalités (10.17) et (10.19), elle est vraie,
au sens des distributions au moins, non seulement pour des fonctions u de
classe C
2 , mais pour des fonctions bien plus générales, disons pour simplifier
des fonctions u ∈ L
1
loc telles que ∆u ∈ L
1
loc .
Attaquons maintenant la preuve d’unicité de la solution de (10.15). Soient u et
v deux solutions (continues) de cette équation. Nous notons comme ci-dessus
w = u − v. Puisque
−∆w + (|u|
p−1 u − |v|
p−1 v) = 0,
la fonction w est une fonction de classe C
2 au moins et on a, grâce à l’inégalité
de Kato,
−∆|w| +
|u|
p−1 u − |v|
p−1 v
≤ 0.
En remarquant que pour une certaine constante δ > 0, on a identiquement
pour tout (a, b) dans IR × IR
|a|
p−1 a − |b|
p−1 b
≥ δ|a − b|
p ,
on en déduit
−∆|w| + δ|w|
p
≤ 0.
A ce stade du raisonnement, si on savait que u et v, et donc w, tendent vers 0 à
l’infini au moins en un sens faible, on pourrait conclure. L’inéquation ci-dessus
impose en effet −∆|w| ≤ 0 sur IR
3 , d’où, par une application du principe du
maximum, |w| ≤ 0 et donc w = 0. Comme nous n’avons pas de telle “condition
au bord” (c’est tout l’intérêt de ce problème d’unicité), nous devons travailler
un peu plus. Nous allons montrer que cela impose w = 0 en prouvant que si
f continue vérifie
−∆f + |f |
p−1 f ≤ 0,
(10.21)
sur tout IR
3 , alors f ≤ 0 sur IR
3 .
La technique que nous allons employer est standard : il s’agit de la comparaison
avec une sur-solution explosive. Expliquons ce dont il s’agit. Si on veut une
borne par au-dessus de f , on sait l’obtenir par exemple quand f ≤ 0 au bord
du domaine (on a alors f ≤ 0 sur l’intérieur du domaine par principe du
maximum). Quand on ne dispose pas d’informations sur les valeurs de f au
bord, le mieux qu’on puisse faire est de comparer f avec une fonction ¯
f qui
vaut +∞ au bord du domaine (on est donc sûr qu’au bord f ≤ ¯
f ), qui est de
plus une sur-solution de l’équation, i.e. ici une fonction qui vérifie
−∆ ¯
f + | ¯
f |
p−1 ¯
f ≥ 0.
La stratégie est intéressante si on connaît explicitement une fonction convenable ¯
f , ou tout au moins si on sait majorer ¯
f . On va alors pouvoir par
principe du maximum (on expliquera comment ci-dessous, car toutes les EDP